![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Линейное преобразование называется ограниченным сверху, если можно подобрать такое число
, что для каждого нормированного вектора
из пространства Rn выполняется неравенство
□ Теорема 3.12. Каждое линейное преобразование пространства
ограничено сверху.
Доказательство. Пусть − произвольный нормирован-ный вектор из пространства Rn. Тогда квадрат длины этого вектора
.
Отсюда вытекает
1,…,
1
+ … +
.
Теперь полагаем , где
,
и докажем, что
Действительно,
■
Из доказанной теоремы следует, что множество
ограничено сверху. Следовательно, это множество имеет точную верхнюю грань, обозначаемую символом . Будем называть ее нормой линейного преобразования
, а также называть нормой матрицы
. Итак,
= Sup{
}
на множестве нормированных векторов пространства Rn.
□ Лемма. Для каждого вектора из пространства Rn справедливо неравенство
Доказательство. Если вектор =
, то вектор
. Отсюда
и
, значит утверждение теоремы справедливо.
Если же вектор
, то отсюда и из определения нормы линейного преобразования следует
■
□ Теорема 3.13. Линейное преобразование обратимо тогда и только тогда, когда
{
}
на множестве нормированных векторов пространства Rn.
Необходимость. Сначала установим, что норма каждой обратимой матрицы больше нуля. Действительно, если длина вектора равна единице, т. е.
= 1, то
и из обратимости матрицы
следует
и, значит,
Теперь, из определения нормы линейного преобразования имеем
или
По условию матрица обратима, а поэтому обратима матрица
. Из доказанного выше утверждения следует
> 0. Наконец, если
– произвольный вектор длины единицы, то, используя лемму, имеем
Отсюда
{
}
Достаточность. Дано {
}
. Для доказательства обратимости преобразования
достаточно установить, что
=
(теорема 3.6). Предположим противное, т. е. пусть
. Это означает, что в подпространстве
найдется ненулевой вектор
и
. Теперь рассмотрим следующую цепочку равенств:
,
=
=
=
.
Итак, нашелся такой нормированный вектор , что
= 0. Отсюда вытекает, что
{
} = 0 (13)
на множестве нормированных векторов ε пространства Rn. Равенство (13) противоречит условию достаточности теоремы. ■
Задачи
1. Доказать, что на множестве нормированных векторов
пространства Rn.
2. Найти норму линейного преобразования .
3. Доказать, что норма линейного преобразования равна наибольшему из чисел
,
,…,
, где
.
4. Доказать, что норма ненулевой матрицы больше нуля.
5. Доказать, что для любых квадратных матриц и
справедливы неравенства:
а) ;
б) .
Дата публикования: 2015-01-23; Прочитано: 255 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!