![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
1) 2). Пусть
,…,
– базис пространства
, состоящий из собственных векторов матрицы
. Обозначим через
,…,
объединение базисов подпространств
Из свойства 2 в п. 3.5 следует линейная независимость системы векторов
Если вектор принадлежит подпространству
, то вектор
разлагается по базису подпространства
, который является частью системы
и, значит, каждый вектор системы
разлагается по системе векторов
. Отсюда и из условия:
– базис
следует, что каждый вектор из подпространства
, разлагается по системе векторов
. Следовательно, система векторов
– базис пространства
.
2) 3). Так как объединение базисов подпространств
является базисом пространства
то оно содержит n векторов, которые обозначим через
. Вектор
принадлежит одному из подпространств
, т. е.
, где
одно из чисел
.
Рассмотрим матрицу , столбцами которой являются векторы
. Так как векторы
образуют базис пространства Rn, то матрица
обратимая. Теперь справедливость утверждения 2)
3) вытекает из следующей цепочки импликаций:
3) 1). Пусть
. Матрица
по условию обратима и, значит, система ее столбцов
линейно независимая и состоит из
векторов. Следовательно, они образуют базис пространства Rn. Остается доказать, что базис
состоит из собственных векторов матрицы
. Это утверждение вытекает из следующей цепочки импликаций:
т. е. собственный вектор матрицы
, принадлежащий ее собственному значению
.■
Матрица приводит матрицу
к диагональному виду, если существует такая обратимая матрица
, что
.
Пример
Выяснить, приводится ли матрица к диагональному виду. Найти матрицу
, приводящую матрицу
к диагональному виду, и найти диагональный вид.
.
Решение. Найдем собственные значения матрицы
Собственные значения матрицы равны
,
,
.
Базис каждого из подпространств ,
,
состоит из одного вектора, соответственно
,
,
.
Матрица
,
столбцами которой являются координаты векторов , приводит матрицу
к диагональной матрице
,
на главной диагонали которой находятся собственные значения матрицы
, причем
.
Задачи
1. Матрица приводит матрицу
к диагональному виду. Найти собственные значения матрицы
, не решая уравнение
=0.
2. Построить алгоритм, который позволяет выяснить, приводит ли матрица матрицу
к диагональному виду, и не требует решения уравнения
=0.
3. Выяснить, приводит ли матрица матрицу
к диагональной матрице и если приводит, то найти ее, не вычисляя матрицу
а) =
=
б)
4. Найти базис пространства Rn, состоящий из собственных векторов матрицы
a) б)
Дата публикования: 2015-01-23; Прочитано: 166 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!