Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | ||
|
□ Лемма. Если матрица
необратима, то либо , либо собственное значение матрицы т. е. матрица имеет собственное значение.
Доказательство. Дано, что матрица
–
необратима. Так как произведение обратимых матриц обратимо, то из необратимости матрицы вытекает, что хотя бы одна из матриц – необратимая матрица.
Если необратима матрица , то . Отсюда следует, что число – собственное значение матрицы . Если же необратима матрица , то, соответственно, и число – собственное значение матрицы А. Итак, одно из чисел , либо является собственным значением матрицы .
□ Теорема 3.20. Каждая симметрическая матрица имеет собственное значение.
Доказательство. Из леммы вытекает, что для доказательства теоремы достаточно установить необратимость матрицы . Для этого, ввиду теоремы 3.13, достаточно показать, что на множестве нормированных векторов пространства Rn.
Рассмотрим скалярный квадрат вектора
Сначала заметим, что из леммы о норме линейного преобразования следует
(16)
Далее, матрица – симметрическая. Используя теорему о симметрической матрице, получаем
(17)
Используя соотношения (16), (17) и получаем
.
Так как на множестве нормированных векторов пространства Rn, то величина . Теперь окончательно получаем .
Поскольку – константа, а величину за счет выбора нормированного вектора можно сделать сколь угодно малой, то на множестве нормированных векторов пространства Rn. ■
Дата публикования: 2015-01-23; Прочитано: 209 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!