Свойства собственных векторов матрицы

Свойство 1. Если – попарно различные собственные значения матрицы и векторы принадлежат соответственно подпространствам …, то из равенства

следует

Доказательство. При доказательстве свойства воспользуемся методом математической индукции, индукцию будем вести по числу векторов в системе.

Если , то утверждение свойства очевидно.

Пусть утверждение свойства справедливо, если , и пусть

. (4) Умножим обе части равенства (4) на матрицу

.

Отсюда

(5) Так как по условию , то и поэтому из равенства (5) следует

(6)

Умножим обе части равенства (4) на число

(7) После прибавления к обеим частям равенства (6) соответствующих частей соотношения (7) получим

(8)

Так как подпространство, то

(9) Из равенства (8), (9) и предположения индукции следует, что

По условию, . Отсюда следует . Наконец, из равенства (4) вытекает

Свойство 2. Пусть попарно различные собственные значения матрицы и в каждом из множеств выбраны линейно независимые системы векторов

(10) Тогда объединенная система векторов

(11)

линейно независима.

Доказательство. Рассмотрим произвольное разложение вектора по системе векторов (11)

(12) Из условий (10) следует, что

Теперь из приведенных выше соотношений и условия (12), ввиду свойства 1, получаем, что

,

,

……………...

.

Системы векторов являются линейно независимыми, поэтому из вышеприведенных равенств вытекает

……………

Итак, в разложении (12) все коэффициенты равны 0, т. е. система векторов (11) линейно независимая.

Задачи

1. Доказать, что ненулевые собственные векторы матрицы, принадлежащие ее различным собственным значениям, линейно независимы.

2. Доказать, что матрица порядка имеет не более различных собственных значений.

3. Доказать, что в пересечении подпространств и содержится только нулевой вектор, если собственные значения и матрицы различны.