![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Собственным вектором квадратной матрицы порядка
, принадлежащим ее собственному значению
, называется n -мерный вектор
, для которого
.
Множество всех собственных векторов матрицы , принадлежащих ее собственному значению
, обозначим символом
. В следующей теореме отыскание собственных векторов сводится к решению однородной системы линейных уравнений.
□ Теорема 3.10. Множество всех собственных векторов матрицы
порядка
, принадлежащих ее собственному значению l, совпадает с множеством всех решений однородной системы линейных уравнений
, где
Доказательство. Рассмотрим следующую цепочку равносильных утверждений:
■
Следствие. Множество является подпространством пространства
Так как множество решений однородной системы уравнений является подпространством пространства , то утверждение следствия вытекает из теоремы 3.10.
Теперь сформулируем алгоритм отыскания всех собственных векторов матрицы .
1. Найти все собственные значения матрицы
, т. е. найти все корни уравнения
=0.
2. Для каждого ,
, найти базис подпространства
, т. е. найти фундаментальный набор решений системы уравнений
.
Пример
Найти собственные значения матрицы
.
В примере из п. 3.3 были найдены собственные значения матрицы , а именно
. Теперь найдем подпространства собственных векторов
и
. Так как
=
–
то система линейных уравнений имеет следующий вид:
Фундаментальный набор решений этой системы уравнений содержит один вектор
который является базисом подпространства
.
Теперь найдем базис подпространства . Построим систему линейных уравнений
.
Фундаментальный набор решений этой системы уравнений состоит из векторов которые образуют базис подпространства
Задачи
1. Доказать, что матрица порядка
имеет единственное собственное значение, если каждый n -мерный вектор является собственным вектором матрицы
.
2. Доказать, что все n -мерные векторы тогда и только тогда являются cобственными векторами матрицы , когда матрица
имеет вид
3. Доказать, что собственные значения матрицы и
совпадают. Найти связь между собственными векторами этих матриц.
4. Найти собственные векторы матриц
а) ; б)
; в)
; г)
;
д) ; е)
.
Дата публикования: 2015-01-23; Прочитано: 246 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!