 |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
Теорема 2.7. Если – аффинное множество в пространстве , то множество является подпространством пространства
|
|
Доказательство. Для доказательства теоремы достаточно установить справедливость следующих двух утверждений:
1) если 
, то 
;
2) если 
, то 
при любом 
.
1) Рассмотрим два произвольных вектора 
из множества 
. Отложим их от некоторой точки 
: 
. Из леммы о параллельном векторе следует, что точки 
и 
принадлежат множеству 
. Отложим вектор 
от той же точки М, и пусть 
. Покажем, что точка 
принадлежит множеству . Из равенств 
и следует
= 
− 
= 
+ 
− . 
Теперь из леммы §2.2 вытекает, что точка принадлежит аффинному множеству . Итак, и точки 
и принадлежат аффинному множеству . Следовательно, вектор параллелен множеству и, значит, принадлежит .
2) Рассмотрим произвольный вектор 
из множества 
. Отложим его от некоторой точки 
: 
. Из леммы о параллельном векторе следует, что 
. Вектор 
также отложим от точки 
и докажем, что точка 
принадлежит множеству . Так как 
и 
, то имеем
− = k 
−k = (1− k) + k .
Из определения аффинного множества вытекает, что точка принадлежит . Таким образом, 
и точки 
. Следовательно, вектор параллелен множеству и, значит, принадлежит .
Из утверждений 1) и 2) следует, что множество − подпространство. ■
Подпространство называется направляющим подпространством аффинного множества .
Вектор 
называется перпендикулярным аффинному множеству , если для каждых двух точек 
множества выполняется условие: 
Эту ситуацию будем обозначать символом 
. Множество всех векторов перпендикулярных аффинному множеству обозначим 
.
◊ Лемма. Множество всех векторов пространства 
перпендикулярных аффинному множеству совпадает с подпространством 
Доказательство вытекает из следующей цепочки равносильных утверждений:
.♦
Подпространство называется нормальным подпространством аффинного множества .
Направляющее подпространство играет значительную роль при изучении аффинных множеств. В нижеследующих теоремах на языке направляющих подпространств решается вопрос о том, когда одно аффинное множество содержится в другом и когда они совпадают.
□Теорема 2.8. Если точки 
принадлежат аффинному множеству , то аффинная оболочка 
содержится во множестве .
Доказательство. Используя определение аффинной оболочки, теоремы 2.7, 1.2 и 2 - е утверждение леммы о параллельном векторе, имеемследующую цепочку импликаций
■
□ Теорема 2.9. Если аффинные множества 
и 
имеют общую точку 
М 
, то справедливы следующие утверждения:
1) 
;
2) = 
.
Доказательство.
1) Необходимость. Если вектор 
, то найдутся принадлежащие множеству такие точки и 
, что 
. Из условия следует 
. Следовательно, вектор параллелен множеству и, значит, 
. Этим установлено, что .
Достаточность. Докажем, что 
. Пусть точка М 
. По условию точка 
и, значит, вектор 
. Отсюда и из условия следует 
. Применяя лемму о параллельном векторе, получаем 
и, значит, 
2) Доказательство этого утверждения использует первое утверждение теоремы 2.5 и вытекает из следующей цепочки импликаций:
= , 
, 
■
○ Примеры
1) Направляющим подпространством прямой в пространстве 
или в пространстве 
является одномерное векторное подпространство 
, где − ненулевой вектор, параллельный прямой.
Решение. Совпадение подпространств и 
вытекает из следующей цепочки равносильных утверждений:
вектор 
параллелен прямой 
и 
коллинеарные векторы 
2 ) Направляющимподпространством плоскости в пространстве является двумерное подпространство 
, где 
пара неколлинеарных векторов, параллельных плоскости.
Решение. Рассмотрим следующую цепочку равносильных утверждений:
вектор 
параллелен плоскости концы векторов
отложенных от точки плоскости , принадлежат
плоскости 
Отсюда вытекает, что 
●
Дата публикования: 2015-01-23; Прочитано: 188 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!
