Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | ||
|
Доказательство. Для доказательства теоремы достаточно установить справедливость следующих двух утверждений:
1) если , то ;
2) если , то при любом .
1) Рассмотрим два произвольных вектора из множества . Отложим их от некоторой точки : . Из леммы о параллельном векторе следует, что точки и принадлежат множеству . Отложим вектор от той же точки М, и пусть . Покажем, что точка принадлежит множеству . Из равенств и следует
= − = + − .
Теперь из леммы §2.2 вытекает, что точка принадлежит аффинному множеству . Итак, и точки и принадлежат аффинному множеству . Следовательно, вектор параллелен множеству и, значит, принадлежит .
2) Рассмотрим произвольный вектор из множества . Отложим его от некоторой точки : . Из леммы о параллельном векторе следует, что . Вектор также отложим от точки и докажем, что точка принадлежит множеству . Так как и , то имеем
− = k −k = (1− k) + k .
Из определения аффинного множества вытекает, что точка принадлежит . Таким образом, и точки . Следовательно, вектор параллелен множеству и, значит, принадлежит .
Из утверждений 1) и 2) следует, что множество − подпространство. ■
Подпространство называется направляющим подпространством аффинного множества .
Вектор называется перпендикулярным аффинному множеству , если для каждых двух точек множества выполняется условие: Эту ситуацию будем обозначать символом . Множество всех векторов перпендикулярных аффинному множеству обозначим .
◊ Лемма. Множество всех векторов пространства перпендикулярных аффинному множеству совпадает с подпространством
Доказательство вытекает из следующей цепочки равносильных утверждений:
.♦
Подпространство называется нормальным подпространством аффинного множества .
Направляющее подпространство играет значительную роль при изучении аффинных множеств. В нижеследующих теоремах на языке направляющих подпространств решается вопрос о том, когда одно аффинное множество содержится в другом и когда они совпадают.
□Теорема 2.8. Если точки принадлежат аффинному множеству , то аффинная оболочка содержится во множестве .
Доказательство. Используя определение аффинной оболочки, теоремы 2.7, 1.2 и 2 - е утверждение леммы о параллельном векторе, имеемследующую цепочку импликаций
■
□ Теорема 2.9. Если аффинные множества и имеют общую точку М , то справедливы следующие утверждения:
1) ;
2) = .
Доказательство.
1) Необходимость. Если вектор , то найдутся принадлежащие множеству такие точки и , что . Из условия следует . Следовательно, вектор параллелен множеству и, значит, . Этим установлено, что .
Достаточность. Докажем, что . Пусть точка М . По условию точка и, значит, вектор . Отсюда и из условия следует . Применяя лемму о параллельном векторе, получаем и, значит,
2) Доказательство этого утверждения использует первое утверждение теоремы 2.5 и вытекает из следующей цепочки импликаций:
= , , ■
○ Примеры
1) Направляющим подпространством прямой в пространстве или в пространстве является одномерное векторное подпространство , где − ненулевой вектор, параллельный прямой.
Решение. Совпадение подпространств и вытекает из следующей цепочки равносильных утверждений:
вектор параллелен прямой и
коллинеарные векторы
2 ) Направляющимподпространством плоскости в пространстве является двумерное подпространство , где пара неколлинеарных векторов, параллельных плоскости.
Решение. Рассмотрим следующую цепочку равносильных утверждений:
вектор параллелен плоскости концы векторов
отложенных от точки плоскости , принадлежат
плоскости
Отсюда вытекает, что ●
Дата публикования: 2015-01-23; Прочитано: 187 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!