Точкой и системой векторов

Пусть точка и векторы пространства . Обозначим через множество точек пространства , которые являются решениями уравнения

где произвольные числа.

◊ Замечание. Точка является решением этого уравнения, если можно подобрать такие числа что выполняется векторное равенство .

Так как равенство

справедливо, то точка принадлежит множеству .♦

□Теорема 2.6. Множество точек пространства является аффинным множеством.

Доказательство. Рассмотрим две произвольные точки и из множества . Из определения этого множества следует, что

Покажем, что каждая точка пространства , для которой , принадлежит множеству . Это утверждение вытекает из следующей цепочки импликаций:

.

Теперь из определения аффинного множества вытекает, что – аффинное множество. ■

Задачи

1.Выяснить, принадлежат ли точки аффинной оболочке точек ?

2.Доказать, что аффинная оболочка содержит бесконечно много точек..

3.Доказать, что в пространстве аффинная оболочка двух различных точек и совпадает с прямой, проходящей через эти точки.

4.Доказать, что в пространстве аффинная оболочка трёх точек , не лежащих на одной прямой, совпадает с плоскостью, проходящей через эти точки.

5.Точки являются частью системы точек . Доказать, что .

6.Точки , и принадлежат пространству . Доказать, что тогда и только тогда, когда .

7.Доказать, что тогда и только тогда, когда .

8.Доказать, что если точки принадлежат аффинной оболочке , то .

9. Доказать, что аффинная оболочка тогда и только тогда, когда , .

10.Выяснить, содержатся ли аффинные оболочки и в аффинной оболочке , где

11.Даны точки из пространства . Доказать, что .

12.Доказать, что .

13. Доказать, что , где точка .

14.Дано: , , . Принадлежат ли точки и множеству

15.Какую фигуру в пространствах или образуют точки аффинного множества

16. Какую фигуру в пространстве образуют точки аффинного множества ненулевые векторы