Примеры. 1. Множество , состоящее из одной точки , является аффинным множеством

1. Множество , состоящее из одной точки , является аффинным множеством.

Так как конец вектора , отложенного от точки , совпадает с точкой и, значит, принадлежит .

2. Прямые в пространствах и являются аффинными множествами.

Пусть произвольная прямая и – любые ее две точки. Обозначим через конец вектора , отложенного от точки , т.е. = . Отсюда следует коллинеарность векторов и . Так как начала этих векторов совпадают, то точки и лежат на одной прямой и, значит, Теперь из теоремы 2.3 следует, что – аффинное множество

3. Плоскости в пространстве являются аффинными множествами.

Пусть произвольная плоскость и – любые ее две точки. Рассмотрим прямую проходящую через точки . Прямая принадлежит плоскости . Обозначим через конец вектора , отложенного от точки т.е. . Так как аффинное множество, то Прямая принадлежит плоскости и, значит, . Теперь из теоремы 2.3 следует, что – аффинное множество.

4. Множество , совпадающее со всем пространством , очевидно, является аффинным множеством.●

При изучении аффинных множеств будет полезна нижеследующая лемма.

Лемма. Точки принадлежат аффинному множеству . Если для точки выполняется равенство

то точка М принадлежит множеству .

Доказательство. Имеем следующую цепочку импликаций

где . В этом равенстве точки принадлежат множеству и сумма коэффициентов равна 1, из определения аффинного множества следует . Теперь из равенства

, .

и определения аффинного множества следует М .■

Задачи

1.Доказать, что пересечение аффинных множеств будет аффинным множеством.

2. Доказать, что аффинное множество, содержащее две различные точки, содержит бесконечно много различных точек.

3. Дано аффинное множество в пространстве и матрица порядка n. Доказать, что множество , состоящее из всех точек пространства для которых является аффинным множеством.

4.Дано множество в пространстве . Доказать равносильность утверждений:

а) – аффинное множество;

б) для каждых двух различных точек , из множества прямая принадлежит множеству .

5. Дано аффинное множество в . Доказать, что

а) если множество содержит различные точки и , то содержит прямую, проходящую через эти точки;

б) если множество содержит прямую и точку не принадлежащую , то содержит плоскость, проходящую через точку и прямую ;

в) если содержит плоскость и точку, не принадлежащую этой плоскости, то совпадает с пространством .

6. Доказать, что каждое аффинное множество в пространстве совпадает с одним из следующих множеств: точка, прямая, плоскость и пространство .