Направляющее подпространство. аффинного множества

аффинного множества

Выясним, как устроено подпространство в случае аффинного множества

□Теорема 2.12. Направляющее подпространство аффинного множества совпадает с подпространством

Доказательство. Совпадение подпространств L и вытекает из следствия к лемме о параллельном векторе и следующей цепочки равносильных утверждений:

. ■

◊ Следствие. Аффинное множество проходит через точку параллельно векторам .

Доказательство. Из теоремы 2.12 следует, что векторы принадлежат подпространству и, значит, параллельны множеству . В 2.3.3 доказано, что точка .♦

Пример

Содержится ли аффинное множество ,

, в аффинном множестве решений системы уравнений

Решение. Аффинное множество будет содержаться в аффинном множестве , если они имеют общую точку и (теорема 2.9). Подстановка координат точки в систему уравнений вместо неизвестных приводит к верным числовым равенствам, т.е. . Далее, из теорем 2.10 и 2.12 следует, что подпространство , а подпространство задается системой уравнений

Координаты векторов и решения однородной системы уравнений, т.е. векторы и принадлежат подпространству . Теперь из следствия к теореме 1.2 следует, что . Наконец, из теоремы 2.9 вытекает . ●

Задачи

1.Даны два аффинных множества и , причем . Доказать, что если множество содержит точку, которая не принадлежит множеству , то множества и не имеют общи х точек.

2.Доказать, что множество решений системы линейных уравнений совпадает с аффинным множеством если выполняются следующие два условия:

1) имеется решением системы уравнений , которое принадлежит множеству ;

2) множество решений системы уравнений совпадает с направляющим подпространством аффинного множества

3..Аффинное множество содержит точки и содержится в каждом аффинном множестве, содержащем точки . Доказать, что

4.Даны аффинные оболочки и . Задать наименьшее аффинное множество, содержащее и , и .

5. Векторы базиса направляющего подпространства отложены от точки аффинного множества : . Доказать, что .

6. Точка принадлежит аффинному множеству , и система векторов базис подпространства . Доказать, что .

7.Доказать, что аффинное множество содержит аффинные множества и

8. Даны аффинные множества , и , и известно, что , . Доказать, что где и направляющие подпространства соответственно аффинных множеств и

9.Доказать, что аффинное множество содержится в каждом аффинном множестве , содержащем и