Основные законы распределения случайных величин

2.1.53. Случайная величина равномерно распределена на отрезке . Найти:

а) плотность вероятностей и построить ее график;

б) функцию распределения и построить ее график;

в) математическое ожидание и дисперсию ;

г) моду и медиану распределения случайной величины Х.

2.1.54. Цена деления шкалы измерительного прибора равна 0,2. Показания прибора округляются до ближайшего целого деления. Найти вероятность того, что при измерении будет сделана ошибка: а) меньшая 0,04; б) большая 0,05.

2.1.55. Автобус некоторого маршрута идет строго по расписанию с интервалом 5 мин. Найти вероятность того, что пассажир, подошедший к остановке, будет ожидать очередной автобус менее 3 мин.

2.1.56. Поезда метро идут с интервалом в 2 минуты. Пассажир выходит на платформу в произвольный момент времени. Найти математическое ожидание и дисперсию времени ожидания поезда.

2.1.57. Минутная стрелка электрических часов перемещается скачком в конце каждой минуты. Найти вероятность того, что в данный момент часы покажут время, которое отличается от истинного не более чем на 20 с.

2.1.58. Случайная величина распределена равномерно, и известно, что . Найти плотность вероятностей случайной величины .

2.1.59. Диаметр круга измерен приближенно, и известно лишь, что . Считая случайной величиной, равномерно распределенной на отрезке , найти математическое ожидание и дисперсию площади круга.

2.1.60. Высотомер имеет случайные и систематические ошибки. Систематическая ошибка равна +20 м. Случайные ошибки распределены по нормальному закону. Какую среднеквадратическую ошибку должен иметь прибор, чтобы с вероятностью 0,9452 ошибка измерения высоты была меньше 100 м.

2.1.61. Измерительный прибор имеет систематическую ошибку 5 м. Случайные ошибки подчиняются нормальному закону со средним квадратическим отклонением, равным 10 м. Какова вероятность того, что ошибка измерения не превзойдет по абсолютной величине 5 м.

2.1.62. Диаметр деталей, выпускаемых цехом, распределен по нормальному закону с параметрами , . Найти вероятность того, что диаметр наудачу взятой детали: а) находится в пределах от 4 до 7 см; б) отличается от математического ожидания не более чем на 2 см.

2.1.63. Размер диаметра втулок, изготавливаемых цехом, можно считать нормально распределенной случайной величиной с математическим ожиданием см и дисперсией см². В каких границах можно практически гарантировать размер диаметра втулки, если за вероятность практической достоверности принимается 0,997?

2.1.64. Браковка шариков для подшипников производится следующим образом: если шарик не проходит через отверстие диаметром , но проходит через отверстие диаметром , то его размер считается допустимым. Если какое-нибудь из этих условий не выполняется, то шарик бракуется. Известно, что диаметр шарика есть нормально распределенная случайная величина с характеристиками Определить вероятность того, что шарик будет забракован.

2.1.65. Известно, что диаметр шарика для подшипников является случайной величиной, распределенной по нормальному закону. Браковка шарика производится так же, как указано в предыдущей задаче. При этом известно, что средний размер шарика равен , а брак составляет всего выпуска. Определить среднее квадратическое отклонение диаметра шарика .

2.1.66. Диаметр шарика для подшипников является случайной величиной, распределенной по нормальному закону со средним значением мм и средним квадратическим отклонением мм. При контроле бракуются все шарики, диаметр которых отличается от среднего (номинального) значения больше, чем на 0,1 мм. Определить, какой процент шариков в среднем будет браковаться.

2.1.67. Случайная величина имеет нормальное распределение с математическим ожиданием, равным нулю. Вероятность попадания случайной величины внутрь интервала (-0,3; 0,3) равна 0,5. Найти и написать выражение для плотности вероятностей величины Х.

2.1.68. Производится стрельба тремя независимыми выстрелами по цели, имеющей вид полосы шириной 20 м. Прицеливание производится по средней линии полосы; систематическая ошибка отсутствует; среднее квадратическое отклонение точки попадания в направлении, перпендикулярном полосе, - 16 м. Найти вероятность попадания в полосу при одном выстреле, а также вероятности следующих событий при трех выстрелах:

A = {хотя бы одно попадание в полосу};

B = {не менее двух попаданий в полосу};

С = {одно попадание в полосу, один недолет и один перелет}.

2.1.69. Имеется случайная величина , распределенная по нормальному закону с математическим ожиданием и средним квадратическим отклонением . Требуется приближенно заменить нормальный закон распределения равномерным законом распределения на отрезке . Границы подобрать так, чтобы сохранить неизменными основные числовые характеристики случайной величины - математическое ожидание и дисперсию.

2.1.70. Случайная величина имеет нормальное распределение с параметрами . Что больше: или ?

2.1.71. Случайная величина распределена по нормальному закону с параметрами . При какой дисперсии вероятность будет наибольшей?

2.1.72. Случайная величина распределена по нормальному закону. Найти .

2.1.73. Случайная величина распределена по нормальному закону с параметрами и . Показать, что

,

где - функция Лапласа.

2.1.74. По известному «правилу трех сигма» вероятность отклонения случайной величины от своего математического ожидания более, чем на три корня из дисперсии, мала. Найти , если имеет:

а) нормальное распределение;

б) показательное распределение;

в) равномерное распределение на отрезке ;

г)

д) распределение Пуассона с .

2.1.75. Найти все центральные моменты нормально распределенной случайной величины с плотностью вероятностей

.

2.1.76. Величина называется асимметрией случайной величины X, а величина - эксцессом случайной величины X. Найти и , если:

а) X – нормально распределенная случайная величина с параметрами и ;

б) X – равномерно распределенная на отрезке случайная величина;

в) Х имеет закон распределения Лапласа с плотностью вероятностей .

2.1.77. Показать, что вероятность попадания на интервал нормально распределенной случайной величины с математическим ожиданием и средним квадратическим отклонением не изменится, если каждое из чисел , , , и увеличить в раз .

2.1.78. Случайная величина распределена по закону Пуассона с математическим ожиданием . Построить ряд распределения и функцию распределения случайной величины . Найти:

а) вероятность того, что случайная величина примет значение меньшее, чем ее математическое ожидание;

б) вероятность того, что случайная величина примет положительное значение.

2.1.79. Аппаратура содержит 2000 одинаковых элементов, надежность (вероятность безотказной работы) каждого из которых равна 0,9995. Какова вероятность отказа аппаратуры, если он наступает при отказе хотя бы одного из элементов?

2.1.80. Вероятность позвонить на телефонную станцию в течение минуты для любого абонента равна 0,01. Телефонная станция обслуживает 500 абонентов. Найти вероятность того, что:

а) в течение минуты позвонят 5 абонентов;

б) в течение минуты позвонят более 60 абонентов и телефонная станция будет перегружена.

2.1.81. Радиостанция ведет передачу информации в течение 10 мкс. Работа ее происходит при наличии хаотической импульсной помехи, среднее число импульсов которой в одну секунду составляет 10⁴. Для срыва передачи достаточно попадания одного импульса помехи в период работы станции. Считая, что число импульсов помехи, попадающих в данный интервал времени, распределено по закону Пуассона, найти вероятность срыва передачи информации.

2.1.82. Автомашина проходит технический осмотр и обслуживание. Число неисправностей, обнаруженных во время техосмотра, распределено по закону Пуассона с параметром . Если неисправностей не обнаружено, техническое обслуживание машины продолжается в среднем два часа. Если обнаружены одна или две неисправности, то на устранение каждой их них тратится в среднем еще полчаса. Если обнаружено больше двух неисправностей, то машина ставится на профилактический ремонт, где она находится в среднем четыре часа. Определить закон распределения среднего времени обслуживания и ремонта машины и его математическое ожидание .

2.1.83. Число проведенных опытов случайно и может изменяться в пределах от 0 до . Вероятность . Каждый опыт может быть успешным с вероятностью и неуспешным с вероятностью . Найти закон распределения числа успешных опытов.

2.1.84. Случайная величина имеет показательный (экспоненциальный) закон распределения с плотностью вероятностей вида:

Найти:

а) коэффициент и построить график ;

б) функцию распределения и построить ее график;

в) математическое ожидание и дисперсию ;

г) вероятность того, что случайная величина примет значение меньшее, чем параметр .

2.1.85. Время работы устройства до отказа подчинено экспоненциальному закону распределения с параметром .

Найти:

1) среднее время между появлением двух смежных отказов;

2) вероятность того, что устройство не откажет в течение 1000 часов после начала работы;

3) вероятность того, что устройство не откажет до момента среднего времени безотказной работы;

4) вероятность того, что устройство не откажет после момента среднего времени безотказной работы.

2.1.86. При работе некоторого прибора в случайные моменты времени возникают неисправности. Время работы прибора от момента его включения до возникновения неисправности распределено по показательному закону с параметром :

При возникновении неисправности она мгновенно обнаруживается, и прибор поступает в ремонт. Ремонт продолжается время , после чего прибор снова включается в работу. Найти плотность вероятностей и функцию распределения промежутка времени между двумя соседними неисправностями. Найти его математическое ожидание и дисперсию. Найти вероятность того, что время будет больше, чем .

2.1.87. Доказать, что для показательного закона распределения с параметром справедливо следующее свойство «нестарения»: для любых

.

Доказать, что верно также и обратное: если неотрицательная случайная величина является непрерывной и обладает свойством «нестарения», то она имеет показательный закон распределения с параметром

2.1.88. В ящике имеется 1000 радиодеталей, характеризующихся некоторым параметром (например, величиной емкости конденсатора). Допустим, что 700 деталей изготовлены на одном заводе и 300 – на другом. На заводах применяются различные технологии, поэтому в первом случае функция распределения параметра есть , а во втором – . Найти функцию распределения параметра для детали, взятой из ящика наугад.

2.1.89. Случайная величина с вероятностью имеет плотность вероятностей , а с вероятностью - плотность вероятностей . Написать выражение для плотности вероятностей случайной величины , найти ее математическое ожидание и дисперсию.