Случайные величины. Законы распределения и числовые характеристики

СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ И СЛУЧАЙНЫЕ ВЕКТОРЫ

Случайные величины. Законы распределения и числовые характеристики

Пусть - вероятностное пространство. Случайной величиной называется функция , являющаяся измеримой относительно -алгебры , то есть такая функция, что для любого действительного

Функцией распределения случайной величины называется функция , при каждом определяемая равенством

Основные свойства функции распределения:

1) для любого ;

2) неубывающая;

3) непрерывная слева: для любого ;

4)

5) Для любых

6) , где - скачок функции распределения в точке .

Случайная величина называется дискретной, если множество ее возможных значений конечно или счетно.

Закон распределения дискретной случайной величины (дискретное распределение) задается в виде ряда (таблицы) распределения:

в которой - значения случайной величины , , () - вероятности, с которыми эти значения принимаются. При этом выполняется условие нормировки:

.

Функция распределения дискретной случайной величины определяется формулой:

.

Случайная величина называется непрерывной (имеющей непрерывный закон распределения или просто непрерывное распределение), если существует функция такая, что для любого функция распределения допускает представление:

.

При этом функция называется плотностью вероятностей (плотностью распределения вероятностей, плотностью распределения) случайной величины .

Если случайная величина является непрерывной, то ее функция распределения всюду непрерывна и для почти всех дифференцируема. При этом почти всюду (в точках непрерывности плотности вероятностей ) имеет место равенство:

.

Свойства плотности вероятностей:

1) для любого ;

2) - условие нормировки;

3) Для любых

.

Математическим ожиданием (средним значением) случайной величины , имеющей функцию распределения , называется число

,

если этот интеграл сходится абсолютно. Если интеграл не сходится абсолютно, то говорят, что у случайной величины математическое ожидание не существует.

Для дискретной случайной величины, принимающей значения с вероятностями , математическое ожидание определяется формулой:

,

а для непрерывной случайной величины с плотностью вероятностей формула для математического ожидания имеет вид:

.

Дисперсией случайной величины называется число

.

Для дисперсии также справедливо выражение:

.

Формулы для вычисления дисперсии :

- если - дискретная случайная величина, то

- если - непрерывная случайная величина, то

Число называется средним квадратическим отклонением случайной величины .

Величина называется начальным моментом - го порядка случайной величины , а величина - центральным моментом - го порядка. Очевидно, что

Вычисляются начальные и центральные моменты по формулам:

в которых функция или соответственно.

Величина , определяемая равенством , называется
- квантилем распределения случайной величины . Квантиль называется медианой распределения случайной величины .

Модой распределения непрерывной случайной величины называется число , при котором плотность вероятностей достигает максимального значения. Распределения с одной модой называются унимодальными, а распределения с несколькими модами – мультимодальными.

Основные законы распределения случайных величин приведены в Таблице П4.

Пример 1. Дискретная случайная величина принимает значения –1, 0, 1 с вероятностями, соответственно равными . Написать выражение и построить график функции распределения, определить вероятность , найти математическое ожидание и дисперсию .

Решение. Закон распределения случайной величины имеет вид:

	-1
				.

Аналитическое выражение для функции распределения случайной величины задается формулой:

График функции распределения имеет вид:

Рис. 2.1.

,

или иначе .

Пример 2. Непрерывная случайная величина имеет плотность вероятностей, график которой изображен на рисунке 2.2 (закон распределения прямоугольного треугольника):

Найти:

а) выражение для плотности вероятностей и параметр ;

б) функцию распределения и построить ее график;

в)

г) и .

Рис. 2.2.

Решение. Аналитическое выражение для плотности вероятностей имеет вид:

Неизвестный параметр находится из условия нормировки:

откуда

Замечание. В данном случае параметр проще найти из геометрических соображений. Из условия нормировки следует, что площадь под графиком плотности вероятностей равна 1, то есть откуда .

Аналитическое выражение для функции распределения случайной величины задается формулой:

График функции распределения имеет вид:

Рис. 2.3.

Задачи

2.1.1. Дан график функции распределения случайной величины (см. рис. 2.4).

Рис.2.4.

Как изменится этот график, если:

а) прибавить к случайной величине 1;

б) вычесть из случайной величины 2;

в) умножить случайную величину на 2;

г) изменить знак случайной величины на противоположный?

2.1.2. Дан график плотности вероятностей случайной величины (см. рис. 2.5).

Рис. 2.5.

Как изменится этот график, если:

а) прибавить к случайной величине 1;

б) вычесть из случайной величины 2;

в) умножить случайную величину на 2;

г) изменить знак случайной величины на противоположный?

2.1.3. Может ли функция быть функцией распределения случайной величины принимающей значения из интервала:

а) б) в) ?

2.1.4. К случайной величине прибавили постоянную, неслучайную величину . Как от этого изменятся ее характеристики:

1) математическое ожидание;

2) дисперсия;

3) среднее квадратическое отклонение;

4) второй начальный момент?

2.1.5. Случайную величину умножили на постоянную, неслучайную величину Как от этого изменятся ее характеристики:

1) математическое ожидание;

2) дисперсия;

3) среднее квадратическое отклонение;

4) второй начальный момент?