Непрерывные случайные векторы

2.2.17. Задана функция распределения случайного вектора :

Найти: а) плотность вероятностей вектора ; б) плотности вероятностей координат и . Являются ли случайные величины и независимыми? Являются ли они некоррелированными?

2.2.18. Задана функция распределения случайного вектора :

Найти: а) плотность вероятностей вектора ; б) плотности вероятностей координат и ; в) вероятность попадания случайного вектора в область, задаваемую неравенствами . Являются ли случайные величины и независимыми? Являются ли они некоррелированными?

2.2.19. Задана функция распределения случайного вектора :

Найти: а) плотность вероятностей вектора ; б) плотности вероятностей координат и ; в) вероятность попадания вектора в треугольник с вершинами в точках , , . Являются ли случайные величины и независимыми? Являются ли они некоррелированными?

2.2.20. Функция распределения непрерывного случайного вектора имеет вид:

Найти: а) плотность вероятностей вектора ; б) плотности вероятностей координат и и определить, являются случайные величины и независимыми или нет; в) математическое ожидание вектора ; г) вероятность попадания вектора в область, изображенную на рис. 2.10.

Рис. 2.10.

2.2.21. Определить плотность вероятностей, математическое ожидание и корреляционную матрицу случайного вектора , если его функция распределения имеет вид:

2.2.22. Функция распределения случайного вектора имеет вид:

Найти одномерные законы распределения случайных величин и . Являются ли случайные величины и независимыми?

2.2.23. Случайный вектор имеет плотность вероятностей:

.

Найти: а) коэффициент A; б) функцию распределения вектора ; в) плотности вероятностей координат и ; г) вероятность попадания случайного вектора в квадрат , центр которого совпадает с началом координат, а стороны параллельны осям координат и имеют длину равную 2. Являются ли случайные величины и независимыми? Являются ли они некоррелированными?

2.2.24. Дана плотность вероятностей случайного вектора :

Найти: а) функцию распределения вектора ; б) плотности вероятностей координат и ; в) математическое ожидание и корреляционную матрицу случайного вектора . Являются ли случайные величины и независимыми? Являются ли они некоррелированными?

2.2.25. Плотность вероятностей случайного вектора имеет вид:

Найти: а) коэффициент ; б) функцию распределения вектора ; в) плотности вероятностей координат и и определить, являются ли случайные величины и независимыми; г) вероятность ; д) математическое ожидание и корреляционную матрицу вектора .

2.2.26. Плотность вероятностей случайного вектора равна:

Доказать, что случайные величины X и Y являются независимыми. Найти математическое ожидание и дисперсию случайного вектора .

2.2.27. Плотность вероятностей случайного вектора равна:

Доказать, что случайные величины X и Y являются независимыми. Вычислить математическое ожидание и дисперсию случайного вектора .

2.2.28. Плотность вероятностей случайного вектора равна:

Найти плотности вероятностей координат и . Являются ли случай-ные величины и независимыми? Являются ли они некоррелированными?

2.2.29. Плотность вероятностей случайного вектора имеет вид:

Найти: а) коэффициент ; б) вероятность попадания вектора в первый квадрант плоскости ; в) математическое ожидание и корреляционную матрицу вектора .

2.2.30. Плотность вероятностей случайного вектора имеет вид:

.

Определить коэффициент A, математическое ожидание и корреляционную матрицу случайного вектора .

2.2.31. Дана плотность вероятностей случайного вектора :

.

Определить: а) коэффициент ; б) одномерные плотности вероятностей ; в) условные плотности вероятностей ; г) первые и вторые моменты случайного вектора .

2.2.32. Случайный вектор распределен с постоянной плотностью внутри квадрата с вершинами в точках A (0;0), B (0; a), C (а; a), D (a;0).

Написать выражения для плотности вероятностей и функции распределения вектора . Определить, являются ли случайные величины и независимыми. Найти математическое ожидание случайного вектора и вероятность .

2.2.33. Случайный вектор распределен равномерно внутри прямоугольника с центром симметрии в начале координат и сторонами 2 a и 2 b, параллельными координатным осям.

Найти плотность вероятностей и функцию распределения случайного вектора . Определить, зависимы или нет координаты вектора и . Найти математическое ожидание и дисперсию случайного вектора .

2.2.34. Случайный вектор равномерно распределен в квадрате со стороной, равной единице, и диагоналями, совпадающими с осями координат. Найти коэффициент корреляции случайных величин и .

2.2.35. Случайный вектор равномерно распределен внутри прямоугольного треугольника с вершинами в точках A (0;0), B (0;8), C (8;0).

Найти плотность вероятностей вектора . Найти одномерные плотности вероятностей, математические ожидания и условные плотности вероятностей координат X и Y.

2.2.36. Случайный вектор имеет постоянную плотность вероятностей внутри квадрата с диагоналями, совпадающими с осями координат и равными 2.

Написать выражение для плотности вероятностей вектора , плотностей вероятностей , его координат и условных плотностей вероятностей . Зависимы или независимы случайные величины X и Y? Коррелированны они или нет? Вычислить вероятность .

2.2.37. Случайный вектор распределен равномерно в круге радиуса R с центром в начале координат. Доказать, что случайные величины X и Y зависимы, но некоррелированы.

2.2.38. Случайный вектор распределён равномерно внутри шара радиуса . Написать выражения для плотности вероятностей вектора , плотностей вероятностей , и его координат, а также для условной плотности вероятностей . Вычислить математическое ожидание и дисперсию .

2.2.39. Поверхность распределения случайного вектора , представляет собой прямой круговой цилиндр, центр основания которого совпадает с началом координат (см. рис. 2.11), а высота равна .

Рис. 2.11.

Определить радиус цилиндра . Найти плотности вероятностей координат и условные плотности вероятностей и ; корреляционную матрицу. Являются ли случайные величины и независимыми? Являются ли случайные величины и некоррелированными?

2.2.40. Поверхность распределения случайного вектора , представляет собой круговой конус (см. рис. 2.12), основанием которого служит круг радиуса с центром в начале координат. Вне этого конуса плотность вероятностей равна нулю.

а) Написать выражение для плотности вероятностей ;

б) Найти плотности вероятностей координат и

в) Найти условные плотности вероятностей и ;

г) Определить, являются ли случайные величины и независимыми;

д) Определить, являются ли случайные величины и некоррелированными.

Рис. 2.12.

2.2.41. Известны математические ожидания двух нормальных случайных величин и их корреляционная матрица

.

Написать выражение для плотности вероятностей случайного вектора .

2.2.42. Заданы следующие характеристики двумерного нормального случайного вектора : математические ожидания и корреляционная матрица

.

Написать выражение для плотности вероятностей вектора .

2.2.43. Плотность вероятностей случайного вектора имеет вид:

.

Найти коэффициент с и корреляционную матрицу вектора .

2.2.44. Плотность вероятностей двумерного случайного вектора имеет вид:

.

Найти плотность вероятностей случайной величины и основные числовые характеристики вектора .

2.2.45. Случайный вектор имеет нормальный закон распределения с плотностью вероятностей вида::

.

Определить: а) плотности вероятностей каждой из координат вектора ; б) условные плотности вероятностей и ; в) условные математические ожидания и дисперсии.

2.2.46. Случайный вектор распределен по нормальному закону с параметрами , . Найти вероятность того, что случайная точка попадет внутрь области D, ограниченной эллипсом .

2.2.47. Координаты точек на плоскости являются независимыми случайными величинами и распределены по нормальным законам с параметрами и соответственно. Найти радиус круга с центром в точке , вероятность попадания в который равна 0,997.

2.2.48. Случайный вектор распределен по нормальному закону распределения с параметрами: Написать уравнение эллипса с центром в точке и полуосями , вероятность попадания случайного вектора в который равна 0,9.

2.2.49. Производится стрельба по точечной (малоразмерной) цели, зона поражения которой представляет собой круг радиуса с центром в начале координат. Рассеивание точки попадания снаряда нормальное с параметрами Сколько выстрелов нужно произвести, чтобы поразить цель с вероятностью не меньшей 0,95?

2.2.50. Трехмерный нормальный случайный вектор имеет математическое ожидание и корреляционную матрицу:

.

Написать выражение для плотности вероятностей случайного вектора .

2.2.51. Случайный вектор имеет плотность вероятностей:

.

Найти плотности вероятностей и случайных векторов и соответственно.

2.2.52. Имеются независимые случайные величины X и Y. Случайная величина X распределена по нормальному закону с параметрами , . Случайная величина Y распределена равномерно на интервале .Написать выражение для плотности и функции распределения вектора .

2.2.53. Случайные величины и независимы и распределены следующим образом: - по показательному закону с параметром , - по равномерному закону на интервале .

Найти вероятности и .

2.2.54. Случайные величины и независимы и распределены каждая по показательному закону с параметрами и соответственно. Найти вероятность

2.2.55. Величины независимы и имеют нормальные законы распределения соответственно. Найти:

а) ; б) .

2.2.56. Пусть – случайный вектор, у которого координата X распределена по показательному закону с параметром : ; а координата Y при заданном значении распределена по показательному закону с параметром x: .

Найти плотность вероятностей вектора , плотность вероятностей случайной величины Y, условную плотность вероятностей .

2.2.57. Случайная величина X – дискретная величина с двумя значениями и , имеющими вероятности и . Случайная величина Y – непрерывная величина, ее условным распределением при служит нормальный закон с математическим ожиданием, равным , и дисперсией . Найти функцию распределения вектора . Найти плотность вероятностей случайной величины Y.

2.2.58. Для случайного вектора известны: плотность вероятностей случайной величины Y, условное математическое ожидание и условная дисперсия . Определить M X и D X.

2.2.59. Коэффициент корреляции случайных величин X и Y равен единице. Может ли случайный вектор иметь плотность вероятностей?

2.2.60. Пусть и – две плотности вероятностей двумерных гауссовских распределений на плоскости с нулевыми математическими ожиданиями, единичными дисперсиями и равными коэффициентами корреляции. Доказать, что: а) функция является плотностью вероятностей некоторого случайного вектора ; б) вектор не является гауссовским; в) каждая из величин X и Y имеет гауссовское распределение с параметрами .

2.2.61. Пусть – нечетная непрерывная функция на интервале , которая равна нулю вне промежутка и . Пусть . Доказать, что: а) функция является плотностью вероятностей некоторого случайного вектора ; б) вектор не является гауссовским; в) каждая из величин X и Y имеет гауссовское распределение.