Законы распределения функций от случайных векторов

Пусть – двумерный случайный вектор с заданным законом распределения и случайная величина , где – неслучайная скалярная функция двух переменных, область определения которой содержит множество возможных значений вектора .

Если – дискретный случайный вектор, принимающий значения с вероятностями , то – дискретная случайная величина и ее возможными значениями являются различные среди значений . При этом вероятности значений аналогично одномерному случаю определяются по формуле:

.

Если – непрерывный случайный вектор с плотностью вероятностей , то является непрерывной случайной величиной, если функция дифференцируема по каждому из своих аргументов. При этом функция распределения случайной величины находится по формуле:

,

а плотность вероятностей находится дифференцированием по .

Если – неслучайная векторная функция, то в результате функционального преобразования случайного вектора получается также двумерный случайные вектор . При этом, если – дискретный случайный вектор, то также будет дискретным случайным вектором при произвольной функции и закон его распределения находится аналогично скалярному случаю. Если – непрерывный случайный вектор, а преобразование является взаимнооднозначным и существует якобиан обратного преобразования :

,

то случайный вектор будет непрерывным и его плотность вероятностей находится по формуле:

.

В общем случае, если – -мерный непрерывный случайный вектор с плотностью вероятностей и – неслучайная вектор-функция со значениями в (), то плотность вероятностей преобразованного случайного вектора

находится следующим образом:

если и преобразование взаимнооднозначно, то

,

где – якобиан обратного преобразования ;

если , и уравнение имеет единственное решение относительно вектора , состоящего из каких-нибудь координат вектора , то

,

где – якобиан обратного преобразования .