П. 1.4. Погрешность интерполяционной формулы

Заменяя функцию интерполяционным многочленом , мы допускаем погрешность.

Определение 1.6 Разность

называется погрешностью интерполирования, или остаточным членом интерполяционной формулы.

В узлах интерполирования эта погрешность равна нулю. Оценим погрешность в любой точке . Для этого рассмотрим вспомогательную функцию

, (1.12)

где , ,

(1.13)

Пусть требуется оценить в заданной точке , не являющейся узлом интерполирования. Выберем постоянную из условия . Для этого достаточно положить

Предположим, что имеет непрерывную производную на отрезке . Функция имеет не менее нулей на этом отрезке, а именно в точках . Поэтому производная имеет не менее чем нулей на, - не менее нулей и т.д., функция по крайней мере один раз обращается в нуль на . Тем самым существует точка , в которой .

Поскольку

,

получаем

.

Таким образом доказано, что погрешность интерполирования можно представить в виде

(1.14)

где , - многочлен, определенный согласно (1.13).

Отсюда следует оценка

(1.15)

где

Поскольку многочлены Лагранжа и Ньютона отличаются только формой записи, представление погрешности в виде (1.14) справедливо как для формулы Лагранжа, так и для формулы Ньютона.