П. 1.2. Интерполяционная формула Лагранжа

Интерполяционная формула Лагранжа позволяет представить многочлен в виде линейной комбинации значений функции в узлах интерполирования

(1.4)

Найдем явное выражение для коэффициентов . Из условий интерполирования (1.3) получаем

Эти соотношения будут выполнены, если на функции наложить условие

Они означают, что каждая из функций ,

Имеет не менее нулей на . Поскольку многочлен степени , коэффициенты естественно искать также в виде многочлена степени , а именно в виде

Из условия находим

Таким образом, коэффициенты интерполяционного многочлена (1.4) находятся по формулам

(1.5)

Часто коэффициенты записываются в другом виде. Введем многочлен степени :

(1.6)

и вычислим его производные в точке :

(1.7)

Тогда получим, что

(1.8)

Итак, интерполяционный многочлен Лагранжа имеет вид

(1.9)

или, более подробно,

(1.10)