П. 1.1. Определение интерполяционного многочлена

Пусть на отрезке заданы точки (будем называть их узлами интерполирования), в которых известны значения функции . Задача интерполирования алгебраическими многочленами состоит в том, чтобы построить многочлен степени

, (1.1)

значения которого в заданных точках совпадают со значениями функции в этих точках.

Для любой непрерывной функции сформулированная задача имеет единственное решение. Действительно, для отыскания коэффициентов получаем систему линейных уравнений

(1.2)

Определитель этой системы (определитель Вандермонда) отличен от нуля, если среди точек нет совпадающих:

Отсюда следует, что такой многочлен существует и он единственен.

Определение 1.1 Многочлен , удовлетворяющий условию

(1.3)

называется интерполяционным многочленом для функции , построенным по узлам

Решение системы (1.2) можно записать различным образом. Наиболее употребительна запись интерполяционного многочлена в форме Лагранжа и в форме Ньютона.