П. 1.3. Интерполяционная формула Ньютона

Интерполяционная формула Ньютона позволяет выразить интерполяционный многочлен через значения в одном из узлов и через разделенные разности функции , построенные по узлам . Она является разностным аналогом формулы Тейлора

Сначала приведем необходимые сведения о разделенных разностях. Пусть в узлах известны значения функции . Предположим, что среди точек нет совпадающих.

Определение 1.2 Разделенными разностями первого порядка называются отношения

Рассмотрим разделенные разности, составленные по соседним узлам, т.е. выражения . По этим разделенным разностям первого порядка можно построить разделенные разности второго порядка.

Определение 1.3 Разделенными разностями второго порядка называются отношения

,

, …,

.

Аналогично определяются разделенные разности более высокого порядка.

Определение 1.4 Если известны разделенные разности порядка , , то разделенная разность порядка определяется как

.

При вычислении разделенных разностей принято записывать их в таблицы

			·
		·	·	…
·	·	·	·
·	·	·
·	·

Определение 1.5 Интерполяционным многочленом Ньютона называется многочлен

(1.11)

Замечание1: Интерполяционные формулы Лагранжа (1.10) и Ньютона (1.11) представляют собой различную запись одного и того же многочлена удовлетворяющего условиям интерполирования (1.3).

Замечание2: Интерполяционную формулу Ньютона удобнее применять в том случае, когда интерполируется одна и та же функция , но число узлов интерполирования увеличивается. Если узлы интерполяции фиксированы и интерполируется не одна, а несколько функций, то удобнее пользоваться формулой Лагранжа.