Анализ локальной оптимальности дифференциальной игры

Учитывая, что при , значение матрицы стремится к решению алгебраического уравнения (2.57) в начале координат

, (2.63)

т.е. . При этом матрицы , , а матрица

(2.70)

остается, по крайней мере, положительно полуопределенной.

Таким образом, в малой окрестности нуля система с управлением, реализованным с использованием SDRE-метода, сколь угодно близка линейной оптимальной системе

. (2.71)

Это приближение является асимптотически оптимальным в том смысле, что управление сходится к оптимальному при . Вслед за [36] найдем необходимые условия оптимальности регулятора нелинейным объектом в постановке дифференциальной игры. При этом будем полагать, что справедливы все предположения, сделанные в § 2.7.

Предположение 2.8.1. Матрицы вместе с градиентами , где

, , , , , , − элементы соответствующих матриц, непрерывны и ограничены .

Теорема 2.8.1. В общем многомерном случае () SDRE-управление нелинейным объектом

(2.72)

определяется необходимым условием оптимальности:

(2.73)

, (2.74)

при этом, если выполняется предположение (2.8.1), второе уравнение (2.74) выполняется асимптотически с квадратичной нормой.

Доказательство. Запишем гамильтониан

(2.75)

Используя (2.74) и второе уравнение (2.73), будем иметь

, (2.76)

Вектор определялся ранее в виде . В силу этого

. (2.78)

Учитывая (2.72), (2.76) и приравнивая (2.77) и (2.78), получим

Если уравнение

(2.79)

поточечно определяет положительно определенную матрицу при , то уравнение

с начальным условием , определяемым решением уравнения

определяет динамику изменения матрицы при .