Дифференциальная игра: общее решение

Дадим вначале некоторые комментарии по вопросу существования решения задачи. Предполагая, что функции , достаточно гладкие, , введем функцию стоимости игры

, (2.3)

где дифференцируемая функция при любых допустимых стратегиях игроков . Уравнение Гамильтона-Якоби будет иметь вид

(2.4)

Здесь − гамильтониан

(2.5)

При незаданном времени окончания переходного процесса (задача стабилизации), т.е. при и , учитывая, что в явном виде не зависит от времени, будем иметь

(2.6)

с граничным условием , так как .

Перепишем (2.6) в виде

(2.7)

Определим управления и с точностью до так, чтобы последние два слагаемых (2.7) равнялись нулю, т.е.

. (2.8)

Тогда уравнение Гамильтона-Якоби примет вид

(2.9)

Исходная система с управлениями (2.8) определяется выражением

Отметим, что при

, (2.10)

уравнение (2.9) вместе с канонической системой

образуют необходимые условия оптимальности системы (2.1) с управлениям

. (2.11)

Как будет показано дальше, матрицы и , при всех и параметрах системы и , должны назначаться так, чтобы матрица

(2.12)

была бы положительно полуопределенной.

Очевидно, что для реализации управлений вида (2.8) необходимо решить уравнение (HJ) в частных производных, что является самостоятельной сложной задачей.

Кроме того,

1. может и не существовать;

2. если и можно найти , то нет гарантии, что функция времени - градиент , вычисленный в точке , есть дополнительный вектор , соответствующий и т.е. нет уверенности, что существует зависимость

(2.13)

Пусть , где Х – область, содержащая S. Обозначим минимум (наибольшую нижнюю границу) функции через :

. (2.14)

Управления , при котором достигается , обозначим через .

Таким образом, - допустимые и в силу (2.14) оптимальные управления.

Предположим также:

1. для

2. непрерывно дифференцируема на X.

В силу оптимальности можно записать, что:

(2.15)

для Таким образом, при предположениях 1 и 2 уравнение (2.15) является дополнительным необходимым условием оптимальности.

Если на правом конце задано условие , то

(2.16)

и вектор , удовлетворяет следующему соотношению:

Покажем, что при некоторых предположениях относительно управляющих воздействий, справедлива зависимость (1).