Анализ устойчивости по Ляпунову

Пусть задача управления системой

(2.36)

заключается в отыскании законов управления , реализуемых по принципу обратной связи, таких, что система была бы асимптотически устойчива с положением равновесия в точке . Пусть существует такая функция Ляпунова [15], что

, (2.37)

где .

Используя (2.37), отыщем законы управления так, чтобы

.

Учитывая, что скалярная величина положительна, а матрица по крайней мере положительно полуопределенная, назначим в виде

(2.38)

Тогда условие (2.37) примет вид

(2.39)

Теорема 2.4.1. При определенных выше функциях и система

равномерно асимптотически устойчива, если и только если

Доказательство. Сравнение левой и правой частей неравенства (2.39) дает возможность назначить в виде

Тогда

Если заменить нестрогое неравенство знаком равенства, то будет получено уравнение Гамильтона-Якоби-Беллмана

Оптимальные управления (2.32), (2.33), в которых является решением уравнения Гамильтона-Якоби-Беллмана [4], доставляют системе устойчивость.