Доказательство. Для сокращения записи введем обозначение

Для сокращения записи введем обозначение

,

.

Тогда

, (2.17)

и

(2.18)

Продифференцируем выражение (2.18) по . Будем иметь

(2.19)

Выражения в квадратных скобках при на оптимальной траектории обращаются в нуль. Используя (2.19), преобразуем (2.18) к виду

(2.20)

Кроме того, условие (2.16) определяет значение . Отметим, что уравнение (2.20) совместно с уравнением (2.16) образует систему уравнений Эйлера – Лагранжа.

Таким образом, если имеются допустимые управления и при этом:

· переводят в S;

· имеется траектория , соответствующая , то для всех ;

· удовлетворяют соотношению для всех , где являются решением уравнения Гамильтона-Якоби, то есть оптимальные управления к множеству допустимых управлений, производящих траектории, которые целиком расположены в X.

Рассмотрим каждое из составляющих необходимых условий оптимальности.

1. Первое уравнение (для ) канонической системы

есть в точности исходная система уравнений, описывающая объект управления, которая не зависит от дополнительной переменной . Второе уравнение (для ) канонической системы описывает движение нормали к гиперплоскости вдоль оптимальной траектории. Уравнение имеет множество решений, каждое из которых описывает движение соответствующей нормали к гиперплоскости вдоль оптимальной траектории. Каноническая система имеет решения вдоль любой траектории системы, а не только для оптимального управления.

2. Первое свойство дополнительной переменной состоит в том, что оптимальное управление является точкой стационарности гамильтониана (2.5).

3. Формулировка необходимых условий не зависит от типа области S значений конечных состояний системы и от того, фиксировано или нет время окончания переходного процесса.

4. Необходимые условия оптимальности, сформулированные в виде поведения гамильтониана на оптимальной траектории, непосредственно зависят от того, является ли время окончания переходного процесса фиксированным или нет. Гамильтониан постоянен вдоль оптимальной траектории лишь в случае, когда система и функционал явно не зависят от времени.