Существование SDRE стабилизирующего управления

Прежде чем рассматривать использования SDRE стабилизирующего управления в задаче дифференциальной игры, приведем некоторые сведения, расширяющие ранее опубликованные результаты исследований [24,25,44, 45]. Пусть управляемая нелинейная система описывается уравнением

(2.52)

где −состояние системы , − открытое множество в , −управления и .

Функции и . Без потери общности, будем считать начало координат устойчивым состоянием покоя, и .

Задан функционал качества

(2.53)

Отметим, что лагранжиан функционала (2.53) квадратичен по и . Матрицы весов таковы, что

.

Предположение 2.7.1. Нелинейная система в постановке задачи (2.52), (2.53) стабилизируема и детектируема, если тройка стабилизируема и детектируема.

Определение 2.7.1. Будем называть представление нелинейной управляемой системы (2.52) в виде

(2.54)

SDC-представлением.

Предположение 2.7.2. − матрицы действительных переменных.

Предположение 2.7.3. SDC-представление нелинейной системы (2.52) является стабилизируемым (управляемым) в области , если пары , стабилизируемы (управляемы) в линейном смысле для ., т.е.

Это означает, что существует положительно определенная матрица (грамиан управляемости) для всех , являющаяся решением уравнения Ляпунова

.

Предположение 2.7.4. SDC-представление нелинейной системы (2.52) является наблюдаемым и детектируемым в области , если пара наблюдаема, а пара детектируема в линейном смысле для , т.е.

Это означает, что существует положительно определенная матрица (грамиан наблюдаемости) для всех , являющаяся решением уравнения Ляпунова

.

Управление объектом (2.52) осуществляется с использованием обратной связи в соответствии с законом

, (2.55)

где . Синтез управления, осуществляющего перевод системы (2.52) из начального состояния в состояние , т.е. , и доставляющего минимум функционалу (2.53), заключается в нахождении соответствующих матриц .

В соответствии с изложенным в предыдущей главе, искомые матрицы определяются соотношениями

, (2.56)

где положительно определенная матрица является решением уравнения Риккати с параметрами, зависящими от состояния,

(2.57)

Определение 2.7.2. Матрица

в SDC-представление вида (2.44) является поточечно гурвицевой в области , если корни характеристического уравнения этой матрицы отрицательны () для всех .

Система (2.52) управлениями (2.56) − (2.57) имеет вид

. (2.58)

Определение 2.7.3. Будем называть метод синтеза управляющих воздействий для нелинейной системы вида (2.52) в ее SDC-представлении с квадратическим функционалом качества, что приводит к использованию уравнения Риккати с параметрами, зависящими от состояния, SDRE-методом.

Определение 2.7.4. Управления (2.55) реализуемы SDRE-методом в области , если существует поточечно стабилизируемая SDC-параметризация , поточечно положительно полуопределенная матрица и поточечно положительно определенные матрицы такие, что синтезированные управления являются функциями состояния объекта.

Предположение 2.7.5. Закон управления (2.54) реализуем SDRE-методом, если существует SDC-представление нелинейной системы (2.52) и матрицы штрафа функционала (2.53) таковы, что и для .

Теорема 2.7.1. [2]. Законы управления (2.54) реализуемы SDRE-методом, если существует SDC-представление нелинейной системы (2.52) такое, что матрица поточечно является матрицей Гурвица при и нули замкнутой системы поточечно лежат в левой полуплоскости .

Теорема 2.7.1 представляет необходимые и достаточные условия для реализации закона управления SDRE-методом. Следует отметить сложность использования данной теоремы в случае неконечного числа SDC-представлений нелинейной системы.

Теорема 2.7.2. [2] Пусть нелинейная управляемая система описывается уравнением (2.52), где , и симметричная положительно определенная матрица, являющаяся поточечным решением матричного уравнения типа Риккати (2.56). Тогда, учитывая Предположение 2.7.2, SDRE-метод реализует локально асимптотическое устойчивое решение задачи управления в замкнутом виде.

Доказательство. Воспользовавшись теоремой 2.4.1, запишем условие асимптотической устойчивости для SDC-представления нелинейной системы (2.52):

(2.59)

Если функция Ляпунова является решением уравнения Гамильтона-Якоби-Беллмана

(2.60)

то управления есть оптимальные управления к множеству допустимых управлений, производящих траектории, которые целиком расположены в X.

Пусть , где симметричная положительно определенная матрица является решением уравнения Риккати с параметрами, зависящими от состояния (SDRE),

.(2.62)

Тогда условие асимптотической устойчивости (2.59) будет иметь вид

.(2.61)

Добавление 2.7.1. В задаче дифференциальной игры условие асимптотической устойчивости вида (2.59) дополняется условием: матрица

(2.63)

должна быть, по крайней мере, положительно полуопределенной.

Следует заметить, что при сделанных предположениях управления (2.50) обеспечивают локально асимптотические свойства стабилизации SDC-представлению нелинейной системы. Однако, асимптотическая стабилизация может не иметь место в исходной нелинейной системы с синтезированными SDRE-методом управлениями и произвольным начальным состоянием (глобальная асимптотическая стабилизация).

В качестве альтернативы глобальной асимптотической устойчивости, которую обычно трудно достичь и/или доказать, желательно иметь
возможность оценки области притяжения для асимптотической устойчивости системы с регулятором, синтезированным с использованием SDRE-метода. Это область в пространстве состояний, которая образуется траекториями асимптотически устойчивой системы управления, начинающимися из любого начального состояния системы, принадлежащего заданной области , в момент .

Для отыскания условий, которым должна отвечать область притяжений, введем в рассмотрение две системы

, (2.64)

, (2.65)

где и положительно определенная матрица − поточечное решение алгебраического уравнения Риккати (2.62).

Пусть . Тогда

(2.66)

Очевидно, что при будет , т.е. .

В окрестности нуля для стабилизированных систем (2.63) и (2.64) выполняется следующее соотношение

(2.67)

Уравнение ошибки при этом (2.66) будет иметь вид

. (2.68)

Введем функцию Ляпунова

,

где положительно определенная матрица − решение алгебраического уравнения (2.62) при . Тогда вблизи нуля для траекторий, порождаемых решениями уравнений (2.64), (2.65), будем иметь

Так как при ,

и , то для тех начальных условий, для которых при , условие

(2.69)

определяет область притяжения стабилизируемых траекторий системы, начинающихся из , для всех , удовлетворяющей канонической системе

.