![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
1. Если функция интегрируема на
, то функция
также интегрируема на
.
Пусть есть колебание функции
на отрезке
. Тогда ее интегрируемость на отрезке
означает, что
.
Пусть далее есть колебание функции
на отрезке
. Тогда имеем
,
и поэтому
,
откуда и следует интегрируемость функции на
.
2. Если функция интегрируема на
, то функция
также интегрируема на
.
Пусть есть колебание функции
на отрезке
. Тогда имеем
(воспользовались неравенством , написанным в обратном порядке) и поэтому
,
откуда и следует интегрируемость функции на
.
3. Если функции и
интегрируемы на
, то функция
также интегрируема на
.
Пусть и
есть колебания функций
и
на отрезке
соответственно. Тогда для колебаени их суммы или разности имеем
(модуль суммы или разности не превосходит суммы модулей)
(супремум суммы не превосходит суммы супремумов). Поэтому
откуда и следует интегрируемость функции на
.
4. Если функции и
интегрируемы на
, то функция
также интегрируема на
.
Вспомним, что пока мы умеем интегрировать только ограниченные функции. Это значит, что и
. Тогда имеем
,
,
и для колебания функции
на отрезке
имеем
и поэтому
,
откуда и следует интегрируемость функции на
.
5. Если функция интегрируема на
, то она интегрируема на любой части этого промежутка.
Пусть отрезок разобьем отрезок
на кусочки, так, чтобы точки с и d оказались в числе точек деления (см. рис.).
Тогда имеем
,
что и доказывает интегрируемость на отрезке
.
6. Если отрезок и функция
интегрируема на каждой из частей, то она интегрируема и на
.
Пусть отрезок разбит на две части точкой с (см. рис.).
Разобьем отрезок на части так, чтобы точка с вошла в число точек деления. Если функция
интегрируема на отрезках
и
, то это значит, что
и
. Но тогда
,
что и доказывает интегрируемость на отрезке
.
Дата публикования: 2015-01-23; Прочитано: 649 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!