Свойства интегрируемых функций

1. Если функция интегрируема на , то функция также интегрируема на .

Пусть есть колебание функции на отрезке . Тогда ее интегрируемость на отрезке означает, что .

Пусть далее есть колебание функции на отрезке . Тогда имеем

,

и поэтому

,

откуда и следует интегрируемость функции на .

2. Если функция интегрируема на , то функция также интегрируема на .

Пусть есть колебание функции на отрезке . Тогда имеем

(воспользовались неравенством , написанным в обратном порядке) и поэтому

,

откуда и следует интегрируемость функции на .

3. Если функции и интегрируемы на , то функция также интегрируема на .

Пусть и есть колебания функций и на отрезке соответственно. Тогда для колебаени их суммы или разности имеем

(модуль суммы или разности не превосходит суммы модулей)

(супремум суммы не превосходит суммы супремумов). Поэтому

откуда и следует интегрируемость функции на .

4. Если функции и интегрируемы на , то функция также интегрируема на .

Вспомним, что пока мы умеем интегрировать только ограниченные функции. Это значит, что и . Тогда имеем

,

,

и для колебания функции на отрезке имеем

и поэтому

,

откуда и следует интегрируемость функции на .

5. Если функция интегрируема на , то она интегрируема на любой части этого промежутка.

Пусть отрезок разобьем отрезок на кусочки, так, чтобы точки с и d оказались в числе точек деления (см. рис.).

Тогда имеем

,

что и доказывает интегрируемость на отрезке .

6. Если отрезок и функция интегрируема на каждой из частей, то она интегрируема и на .

Пусть отрезок разбит на две части точкой с (см. рис.).

Разобьем отрезок на части так, чтобы точка с вошла в число точек деления. Если функция интегрируема на отрезках и , то это значит, что и . Но тогда

,

что и доказывает интегрируемость на отрезке .