Теорема. Пусть

1. интегрируема на ;

2. функция монотонно возрастает и , ;

3. .

Тогда .

Обратите внимание на пределы интегрирования во втором интеграле.

Доказательство.

Разобьем отрезок на кусочки точками (см. рис.) и пусть . Тогда отрезок также разобьется на кусочки точками , причем и .

Рассмотрим величины . Для них, используя формулу Лагранжа, имеем

,

где .

Как говорилось в определении понятия определенного интеграла, предел интегральной суммы не должен зависеть от выбора средней точки. Возьмем поэтому . Тогда для интегральной суммы получим

.

Проделаем теперь предельный переход при . В силу равномерной непрерывности функции на отрезке , при этом будет и . Мы получим

, что и дает формулу

. <

Обратите внимание на следующие моменты:

1. В отличие от неопределенного интеграла здесь нет возврата к переменной х.

2. Но зато во втором интеграле стоят другие пределы! И это есть тот момент, о котором студенты, решая задачи, часто забывают. Так что НЕ ЗАБЫВАЙТЕ МЕНЯТЬ ПРЕДЕЛЫ!

Пример.

Вычислим . Для этого сделаем замену переменных . Тогда .

А теперь заменим пределы интегрирования. Имеем

при ;

при .

Поэтому .