Классы интегрируемых функций

Теорема 1. Если функция непрерывна на отрезке , то она интегрируема на этом отрезке.

Доказательство.

Если функция непрерывна на отрезке , то она, по теореме Кантора, равномерно непрерывна на этом отрезке. В обозначениях этой главы, это означает, что

.

Возьмем любое . Тогда и мы получаем

и, в силу произвольности e, отсюда следует, что . <

Теорема 2. Если функция ограничена на отрезке и имеет на нем лишь конечное число точек разрыва, то она интегрируема на этом отрезке.

Доказывать эту теорему мы не будем.

Теорема 3. Если функция монотонна и ограничена на отрезке , то она интегрируема на этом отрезке.

Доказательство.

Пусть, для определенности функция монотонно возрастает. Возьмем произвольное e и положим . Разобьем весь отрезок на кусочки, длина каждого из которых будет меньше d. Тогда на кусочке будет и мы получим

,

и, в силу произвольности e, отсюда следует, что . <