![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Теорема 1. Если функция непрерывна на отрезке
, то она интегрируема на этом отрезке.
Доказательство.
Если функция непрерывна на отрезке
, то она, по теореме Кантора, равномерно непрерывна на этом отрезке. В обозначениях этой главы, это означает, что
.
Возьмем любое . Тогда
и мы получаем
и, в силу произвольности e, отсюда следует, что . <
Теорема 2. Если функция ограничена на отрезке
и имеет на нем лишь конечное число точек разрыва, то она интегрируема на этом отрезке.
Доказывать эту теорему мы не будем.
Теорема 3. Если функция монотонна и ограничена на отрезке
, то она интегрируема на этом отрезке.
Доказательство.
Пусть, для определенности функция монотонно возрастает. Возьмем произвольное e и положим
. Разобьем весь отрезок
на кусочки, длина каждого из которых
будет меньше d. Тогда на кусочке
будет
и мы получим
,
и, в силу произвольности e, отсюда следует, что . <
Дата публикования: 2015-01-23; Прочитано: 197 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!