Студопедия.Орг Главная | Случайная страница | Контакты | Мы поможем в написании вашей работы!  
 

Классы интегрируемых функций



Теорема 1. Если функция непрерывна на отрезке , то она интегрируема на этом отрезке.

Доказательство.

Если функция непрерывна на отрезке , то она, по теореме Кантора, равномерно непрерывна на этом отрезке. В обозначениях этой главы, это означает, что

.

Возьмем любое . Тогда и мы получаем

и, в силу произвольности e, отсюда следует, что . <

Теорема 2. Если функция ограничена на отрезке и имеет на нем лишь конечное число точек разрыва, то она интегрируема на этом отрезке.

Доказывать эту теорему мы не будем.

Теорема 3. Если функция монотонна и ограничена на отрезке , то она интегрируема на этом отрезке.

Доказательство.

Пусть, для определенности функция монотонно возрастает. Возьмем произвольное e и положим . Разобьем весь отрезок на кусочки, длина каждого из которых будет меньше d. Тогда на кусочке будет и мы получим

,

и, в силу произвольности e, отсюда следует, что . <





Дата публикования: 2015-01-23; Прочитано: 194 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!



studopedia.org - Студопедия.Орг - 2014-2025 год. Студопедия не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования (0.005 с)...