Признак существования определенного интеграла

Теорема. Для существования определенного интеграла необходимо и достаточно, чтобы .

Доказательство.

Необходимость. Пусть существует . Это значит, что

.

Но тогда, учитывая, что и , можем записать

,

откуда следует, что

,

и, в силу произвольности e, это и означает, что .

Достаточность. Пусть . Это означает, что

.

Но , откуда следует, что . Так как e сколь угодно мало, то это означает, что .

Далее имеем , ; следовательно, , и, в силу произвольности e, это означает, что существует .