Тогда существует число m такое, что

1. ;

2. .

Доказательство.

Имеем . Так как , то

.

Интегрируя это неравенство, получаем

. (*)

Возможны следующие варианты:

а) . Но тогда из (*) следует, что и m может быть взято любым.

б) . Тогда, деля все части неравенства (*) на , получим:

.

Обозначим . Тогда будет

1. ;

2. . <

Следствие. Если непрерывна на , то такая, что

.

Доказательство. Имеем следующую цепочку следствий:

непрерывна на Þ по первой теореме Вейерштрасса существуют и так что Þ по второй теореме Больцано-Коши такая, что для . Заменяя в первой теореме о среднем m на , получим следствие. <

Частный случай. Пусть и непрерывна на . Тогда такая, что

.

Здесь использован тот факт, что . Обоснование этого см. в следующем разделе.

Эта формула допускает следующую геометрическую интерпретацию (см. рис.): такая, что площадь, ограниченная кривой и отрезком , лежащим на оси абсцисс, равна площади прямоугольника, с основанием в виде этого же отрезка и высотой .