Свойства сумм Дарбу

1. Если к имеющимся точкам деления добавить новые, то s может только увеличиться, а S - только уменьшиться.

Рассмотрим кусочек и представим себе, что на нем появилась еще одна точка , так что (см. рис.).

Пусть , и . Так как и , то ясно, что и .

Рассмотрим отдельное слагаемое, скажем, верхней суммы Дарбу, соответствующее отрезку . До добавления точки оно было равно . После добавления точки оно превратилось в два слагаемых и стало равно . Так как и , то и поэтому от добавления точки верхняя сумма Дарбу не могла возрасти. Аналогично можно получить, что от добавления точки нижняя сумма Дарбу не могла уменьшиться.

2. Каждая нижняя сумма Дарбу не превосходит любой верхней суммы Дарбу, даже если они принадлежат различным разбиениям отрезка на кусочки.

Пусть имеется два разбиения отрезка на кусочки (см. рис.)

В первом разбиении, очевидно, , во втором - . Объединим эти два разбиения в одно, смешав вместе все точки деления (см. рис.). Тогда, учитывая свойство 1, получим следующую цепочку неравенств , откуда следует, что , что и требовалось доказать.

Отсюда следует, что множество нижних сумм Дарбу , соответствующих различным разбиениям отрезка ограничено сверху любой верхней суммой Дарбу, а множество верхних сумм Дарбу ограничено снизу любой нижней суммой Дарбу. Поэтому существуют и . Они носят название нижнего и верхнего интегралов Дарбу. Очевидно, что для любого разбиения отрезка на кусочки верно соотношение .