Общие понятия о дифференциальных уравнениях

К дифференциальным уравнениям приводятся многие задачи науки и техники. Рассмотрим одну из них – задачу о движении тела при вертикальном его падении под действием сил тяжести и сопротивления среды.

Пусть с некоторой высоты сброшено тело массой которое падает вертикально вниз (рис. 166). Обозначим скорость тела его силу тяжести силу сопротивления среды Последняя пропорциональна скорости т. е. где – коэффициент пропорциональности, который определяется опытным путём и считается известным. Нужно найти закон изменения модуля скорости тела с течением времени

Ось проведём вертикально вниз и будем считать, что тело движется по этой оси.

Отметим, что модуль силы тяжести где – ускорение свободного падения. Сила направлена противоположно вектору скорости.

Пусть – ускорение тела (здесь размерами тела пренебрегаем и считаем его материальной точкой). По второму закону Ньютона где – сила, действующая на тело. В нашем случае эта сила есть равнодействующая сил и т. е. Подставив это выражение в предыдущее соотношение, получим В проекции на ось это векторное равенство дает

(1)

Как известно из кинематики, проекция ускорения равна производной где – проекция скорости на ось Подставим последнее выражение в (1) и получим

(2)

Проекция вектора на ось равна его модулю (длине), умноженному на косинус угла между вектором и осью, поэтому проекция силы на ось равна так как угол между осью и вектором равен нулю. Но следовательно, Аналогично Однако поэтому Последние выражения для подставим в (2) и будем иметь

Итак, получили соотношение, связывающее искомую функцию и её производную Это соотношение есть дифференциальное уравнение для искомой функции

Определение. Дифференциальным уравнением называется соотношение, которое связывает независимую переменную искомую функцию и её производные .

Символически дифференциальное уравнение записывается так:

(3)

где левая часть есть известное выражение, содержащее …,

Если в дифференциальном уравнении искомая функция зависит от одного аргумента, то оно называется обыкновенным уравнением.

Порядком дифференциального уравнения называется порядок наивысшей производной искомой функции, входящей в это уравнение. Например, есть уравнение первого порядка, – уравнение второго порядка.

Решением дифференциального уравнения называется всякая функция которая, будучи подставлена в уравнение, превращает его в тождество (при подстановке функции в уравнение (3) заменяем … соответственно на …).

Например, для уравнения

(4)

решением является функция В этом легко убедиться, подставив эту функцию в уравнение (4). Также легко убедиться в том, что решением (4) является и функция Наконец, функция вида тоже является решением того же уравнения (4). Этот пример показывает, что обыкновенное дифференциальное уравнение имеет бесчисленное множество решений.