К вычислению координат центра тяжести тел

Пусть в пространстве задана система материальных точек массы которых равны соответственно и – центр тяжести этой системы (см. рис. 163). Известно, что координаты этого центра определяются по формулам

Пусть в пространстве задано тело, занимающее область (рис. 164), и есть плотность тела в точке причём вещество в области распределено неравномерно. Будем считать, что всюду в области задана непрерывная функция характеризующая распределение плотности вещества по всему телу. Нужно найти – координаты центра тяжести рассматриваемого тела.

Разобьём область на частей с объёмами Внутри части с объёмом возьмём точку и вычислим в ней значение заданной плотности т. е. найдём В силу малости объёма приближенно можно считать, что внутри плотность постоянна и равна поэтому масса вещества внутри приближенно равна произведению этой плотности на

(42)

Сказанное относится ко всем остальным частям тела. В силу малости объёма можно приближенно считать, что часть совпадает с материальной точкой с массой Это относится ко всем частям тела, тогда оно приближенно заменяется системой материальных точек с массами определяемыми по формуле (42), где Таким образом, получаем систему точек. Координаты центра тяжести определяются приближенно по приведённым выше формулам, в которых выражаются формулой (42). Итак,

Пусть – диаметр области и – наибольший из всех диаметров частей области Последняя формула тем точнее, чем меньше наибольший из диаметров Чтобы получить точное значение в правой части последней формулы, нужно перейти к пределу, когда и При этом учтём, что предел отношения равен отношению пределов, и получим В знаменателе под знаком предела стоит интегральная сумма для непрерывной функции и области в которой функция задана. Предел этой суммы равен тройному интегралу от функции а в числителе получим тройной интеграл от функции Таким образом, окончательно получим формулу

Аналогично получим выражения для координат

Пусть теперь в пространстве задана кривая , – произвольная ее точка (см. рис. 165). Пусть – плотность вещества в точке Это значит, что Здесь – масса участка длины кривой, внутри которого находится точка и предел берётся, когда и стягивается в точку Будем считать, что функция , характеризующая распределение плотности по задана всюду на кривой и непрерывна. Пусть – координаты центра тяжести кривой с указанной плотностью. Поступая аналогично предыдущему, покажем, что

Если кривая лежит на плоскости в предыдущих формулах нужно заменить на и положить поэтому

Пример. Требуется определить координаты центра тяжести четверти окружности радиуса 1 с центром в начале координат, заданной уравнениями если =1 всюду на рассматриваемой кривой.

Согласно последним формулам имеем Здесь будем считать, что есть тогда согласно формуле (37)