Криволинейные интегралы по пространственным кривым

Пусть на кривой (рис. 162) заданы функции которые считаем непрерывными функциями

точки этой кривой: Поступая, как в случае плоской кривой, введём понятие криволинейного интеграла по координате от функции по кривой Затем – понятие криволинейного интеграла по координате от функции по кривой и, наконец, понятие криволинейного интеграла по координате от функции по кривой Обозначения этих интегралов аналогичны обозначениям предыдущих:

Сумма этих интегралов называется составным интегралом по координатам, по кривой и обозначается

Пусть кривая задана параметрически уравнениями

(38)

Началу кривой отвечает значение а концу – Поступая, как в случае плоской кривой, получим формулу для вычисления последнего интеграла, когда кривая задана параметрическими уравнениями (38):

Пусть теперь на кривой задана непрерывная функция точки этой кривой. Аналогично случаю плоской кривой введём понятие криволинейного интеграла по длине от функции по пространственной кривой . Этот интеграл обозначается В случае, когда кривая задана уравнениями (38), интеграл вычисляется по формуле

(39)

Вывод этой формулы аналогичен выводу формулы (37). Здесь надо учесть дополнительно, что для кривой заданной уравнениями (38), есть длина дуги этой кривой, отсчитываемая от точки до точки координаты которой выражаются формулами (38). Обозначив через функцию, обратную к уравнения (38) запишем так: Умножив эти уравнения на соответствующие базисные векторы и почленно сложив, перейдём к векторному уравнению кривой

Но, как было показано ранее (см. параграф 7 главы 8), поэтому

(40)

Заметим, что при этом

Подставив правые части этих соотношений в (40), получим

Но для последней функции первообразной является поэтому

Отсюда ясно, что формулу (35) здесь нужно заменить следующей:

Отметим попутно, что заменив в предпоследней формуле и соответственно на и получим формулу для вычисления длины дуги пространственной кривой заданной уравнениями (38).