Криволинейный интеграл по длине

Пусть на плоскости задана кривая (рис. 160). На ней, в отличие от случая криволинейных интегралов по координатам, направление устанавливать не будем. Пусть на этой кривой задана функция которую считаем непрерывной функцией точки кривой

Разобьем кривую на частей точками Обозначим точки соответственно через и а длину дуги кривой – через (). На этой дуге возьмём произвольную точку , вычислим в ней значение заданной функции т. е. вычислим Найдем произведение Подобную операцию проделаем со всеми частями кривой .

Пусть – наибольшая из всех длин Пусть число делений так, что т. е. все части кривой стягиваются в точки. Если при этом независимо от способа разбиения кривой и от выбора точек сумма имеет конечный предел, то он называется криволинейным интегралом по длине кривой и обозначается Итак,

(33)

По аналогии с криволинейным интегралом по координатам получим формулу для вычисления криволинейного интеграла по длине, когда кривая задана параметрическими уравнениями. В силу аналогии остановимся лишь на основных моментах.

Пусть кривая задана параметрическими уравнениями

(34)

Будем считать, что производные непрерывны в интервале Пусть точке отвечает значение а точке – значение и пусть пока Разбиению на частей кривой точками отвечает разбиение интервала значениями параметра , соответствующими точкам деления Таким образом, точке отвечает

Зная параметрические уравнения (34) дуги для которой запишем известную нам формулу для вычисления длины этой дуги (см. формулу (35) главы 2): Интеграл в этой формуле запишем согласно свойству определённого интеграла в виде произведения значения подинтегральной функции в некоторой промежуточной точке и длины интервала интегрирования При этом предыдущая формула примет вид

(35)

В качестве точки возьмём ту, которая отвечает значению параметра тогда координаты точки определяются по формулам (34), в которых т. е.

(36)

Выражения (35) и (36) подставим в правую часть формулы (33), тогда

Ясно, что в правой части последней формулы стоит предел интегральной суммы для функции и интервала в котором функция задана. Этот предел равен определённому интегралу, поэтому

(37)

До сих пор мы считали, что Если то перед интегралом в правой части нужно взять знак «‑». Это следует из формулы (35), в которой теперь надо заменить на

Пример. Вычислить криволинейный интеграл , где кривая есть четверть окружности единичного радиуса с центром в точке расположенная в первой четверти плоскости (рис. 161).

В данном случае Пусть – угол, который считается положительным при отсчёте от оси против хода часовой стрелки. Тогда координаты точки окружности Следовательно, Кроме того, и Согласно (37) имеем