Предел и непрерывность

1. Пределы: основные понятия и их свойства.

Число называется пределом числовой последовательности , если последовательность является бесконечно малой, т. е. все её элементы, начиная с некоторого, по модулю меньше любого заранее взятого положительного числа.

В случае, если у числовой последовательности существует предел в виде вещественного числа , её называют сходящейся к этому числу. В противном случае, последовательность называют расходящейся. Если к тому же она неограниченна, то её предел полагают равным бесконечности.

Кроме того, если все элементы неограниченной последовательности, начиная с некоторого номера, имеют положительный знак, то говорят, что предел такой последовательности равен плюс бесконечности.

Если же элементы неограниченной последовательности, начиная с некоторого номера, имеют отрицательный знак, то говорят, что предел такой последовательности равен минус бесконечности.

Арифметические свойства

§ Оператор взятия предела числовой последовательности является линейным, т. е. проявляет два свойства линейных отображений.

§ Аддитивность. Предел суммы числовых последовательностей есть сумма их пределов, если каждый из них существует.

§ Однородность. Константу можно выносить из-под знака предела.

§ Предел произведения числовых последовательностей факторизуется на произведение пределов, если каждый из них существует.

§ Предел отношения числовых последовательностей есть отношение их пределов, если эти пределы существуют и последовательность-делитель не является бесконечно малой.