Вычисление обратной матрицы

Обратной для матрицы А называется такая матрица (обозначение А^-1), которая удовлетворяет условиям А^-1*А=А*А^-1=Е, где Е – единичная матрица.

Обратная матрица А наз-ся невырожденной, если её опр-ль не равен 0.

Для вырожденной матрицы А обратной матрицы не существует

Теорема: Всякая невырожденная матрица имеет обратную ей.

Теорема: Для того, чтобы кв. матрица А имела обратную матрицу А^-1 необходимо и достаточно, чтобы опр-ль матрицы А был отличен от 0. При этом обратную матриу можно найти по формуле:

3. Системы линейных уравнений: основные понятия, методы решения: матричный, Крамера, Гаусса.

3.1. Методы решения:

Матричный:

Матричный метод решения (метод решения через обратную матрицу) систем линейных алгебраических уравнений с ненулевым определителем состоит в следующем.

Применяется в тех случаях, когда число уравнений совпадает с числом неизвестных и ранг матрицы системы является максимально возможным.

Очевидно, что maxrangA=n. Это верно при условии (невырожденность матрицы).

Так как предполагается, что матрица А - невырожденная, то

Умножим обе части равенства (71) слева на матрицу . Получим . В соответствии с одним из свойств произведения матриц последнее преобразуется к виду или, окончательно, )_(2)

Выражение (2) – решение (1) в матричном виде

Замечание: если определитель матрицы системы не равен нулю, то система имеет единственное решение

Правило Крамера решения СЛУ:

если , то решение квадратной системы (Ах = В) можно найти по формулам: , i = 1, 2, 3…. n, (7.3)

где , а - определители порядка n, отличающиеся от i - ым столбцом, на месте которого стоит столбец свободных членов. Принято называть - главным определителем, а - вспомогательными определителями.

вытекают формулы (7.3).

В частности,

= .

Пример 15.1 Решите систему уравнений

Решение. Выписываем матрицу системы и столбец свободных членов .

Находим определитель системы: . Определитель отличен от нуля, следовательно, можно применить правило Крамера. Находим дополнительные определители:

Ответ: .

10. Метод Гаусса решения СЛУ:

Суть метода Гаусса заключается в

последовательном исключении неизвестных и состоит из двух этапов.

Прямой метод Гаусса (пошагово):

Выбирается одно из уравнений (оно объявляется ведущим). В этом уравнении выбирается ведущая переменная, в качестве которой может быть выбрана любая переменная с ненулевым коэффициентом.

С помощью равносильных преобразований эта переменная исключается из других уравнений системы.

Выбирается другое уравнение, которое объявляется следующим ведущим и т.д..

Замечание 8.3. В ходе описанных преобразований можно получить систему, которой будет соответствовать расширенная матрица, содержащая нулевую строку. Наличие такой строки означает, что одно уравнение в исходной системе является линейной комбинацией остальных. Дальнейшие преобразования системы следует производить без данного уравнения (соответственно, без нулевой строки).

Замечание 8.4 На некотором этапе преобразований может быть полученарасширенная матрица следующего вида

Выделенной строке этой матрицы соответствует уравнение , которому не удовлетворяет ни один набор чисел. Следовательно, система, в данном случае, несовместна.

Обратный ход метода Гаусса:

Последовательно, (начиная с последней) исключаются ведущие переменные (в записанной матрице им соответствуют единичные коэффициенты) из расположенных выше уравнений.

В результате всех преобразований (при условии совместности), будет получена система со следующей расширенной матрицей:

(8.1)

Определение 8.3: Переменные x ₁, x ₂, …, x_m в системе (8.1) называются базисными, а х _m+1,…, x_n – свободными.

Замечание 8.4: Если в (8.1) m = n, то исходная система имеет одно решение (в этом случае свободные переменные отсутствуют)..

Замечание 8.5: если в (8.1) n>m, то исходная система имеет бесчисленное множество решений, которые принято записывать в виде:

(8.2)

Придавая свободным переменным произвольные значения, можно получить, в соответствии с (8.2), всевозможные наборы чисел (x ₁, x ₂, …, x_n), удовлетворяющих исходной системе.

Пример 1. Решить систему линейных уравнений

x₁ + 2x₂ + 5x₃ = -9,

x₁ - x₂ + 3x₃ = 2,

3x₁ - 6x₂ - x₃ = 25.

Составим расширенную матрицу коэффициентов этой системы и с помощью элементарных преобразований приведем к ступенчатому виду:

Мы приходим, следовательно, к системе уравнений

x₁ + 2x₂ + 5x₃ = -9,

-3x₂ - 2x₃ = 11,

-8x₃ = 8.

Система совместна и обладает единственным решением, т.е. определена. Находим решение полученной системы, начиная с последнего уравнения

x₁ = 2, x₂ = -3, x₃ = -1.

3.2. Основные понятия:

Система m линейных уравнений с n неизвестными (или, линейная система) в линейной алгебре — это система уравнений вида

(1)

Здесь x ₁, x ₂, …, x_n — неизвестные, которые надо определить. a ₁₁, a ₁₂, …, a_mn — коэффициенты системы — и b ₁, b ₂, … b_m — свободные члены — предполагаются известными. Индексы коэффициентов (a_ij) системы обозначают номера уравнения (i) и неизвестного (j), при котором стоит этот коэффициент, соответственно.

Система (1) называется однородной, если все её свободные члены равны нулю (b ₁ = b ₂ = … = b_m = 0), иначе — неоднородной.

Система (1) называется квадратной, если число m уравнений равно числу n неизвестных.

Решение системы (1) — совокупность n чисел c ₁, c ₂, …, c_n, таких что подстановка каждого c_i вместо x_i в систему (1) обращает все её уравнения в тождества.

Система (1) называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если у неё нет ни одного решения.

Совместная система вида (1) может иметь одно или более решений.

Решения c ₁⁽¹⁾, c ₂⁽¹⁾, …, c_n ⁽¹⁾ и c ₁⁽²⁾, c ₂⁽²⁾, …, c_n ⁽²⁾ совместной системы вида (1) называются различными, если нарушается хотя бы одно из равенств:

c 1(1) = c 1(2), c 2(1) = c 2(2), …, cn (1) = cn (2).

Совместная система вида (1) называется определённой, если она имеет единственное решение; если же у неё есть хотя бы два различных решения, то она называется неопределённой. Если уравнений больше, чем неизвестных, она называется переопределённой.

4. Векторная алгебра: основные понятия векторов, линейные операции над векторами и их св-ва, координатное выражение. Скалярное, векторное, смешанное произведения векторов: определение, св-ва, координатное выражение, приложения.

4.1. Векторы, основные понятие и определения:

Величины, встречающиеся в физике, механике и других науках, можно разделить на 2 категории: скалярные (определяются числом) и векторные (определяются числовым значением и направлением). Векторами наз-ся направленные отрезки. А – начало В – конецДлина вектора наз-ся его модулем. Вектор, начало и конец которого совпадают, наз-ся нулевым.

Векторы, равные по модулю, параллельные, но направленные в противоположную сторону, наз-сяпротиволежащими.

Векторы, лежащие на одной или параллельных прямых, наз-ся коллинеарными.

Векторы а, в, с наз-ся компланарными, если они лежат в одной плоскости или находятся в параллельных плоскостях.

Векторы наз-сяравными, если они имеют одинаковую длину и одинаковое направление.

Векторы, длина которых равна 1, наз-ся единичными векторами.

Свойства линейных операций над векторами:

4.2. Произведения векторов:

Скалярное произведение векторов и его свойства:

Скалярным произведением двух ненулевых векторов называется число, равное произведению этих векторов на косинус угла между ними.

СП равно 0 тогда и только тогда, когда векторы взаимно перпендикулярны

Векторное произведение векторов и его свойства:

Три некомпланарных вектора образуют правую тройку если с конца третьего поворот от первого вектора ко второму совершается против часовой стрелки. Если по часовой – то левую.

Векторным произведением вектора на вектор называется вектор , который:

Перпендикулярен векторам и .

Имеет длину, численно равную площади параллелограмма, образованного на векторах и .

, где

Векторы , и образуют правую тройку векторов.

Свойства:

Смешанное произведение векторов и его свойства:

Смешанное произведение записывают в виде: .

Смысл смешенного произведения: сначала два вектора векторно перемножают, а затем полученный скалярно перемножают с третьим вектором. Смешанное произведение представляет собой число – число. Результат смешанного произведения – объем параллелепипеда, образованного векторами.

Свойства.

1) Смешанное произведение не меняется при циклической перестановке сомножителей:

2) Смешанное произведение не изменится при перемене местами векторного и скалярного произведения.

3) Смешанное произведение меняет знак при перемене мест любых двух векторов-сомножителей.

4) Смешанное произведение трех ненулевых векторов равно нулю тогда и только тогда, когда они компланарны.

Три вектора называются компланарными, если

результат смешанного произведения равен нулю.

5. Прямая на плоскости: основные уравнения, взаимное расположение двух прямых. Формулы расстояния от точки до прямой, длины отрезка.

5.1. Уравнение прямой, через угловой коэффициент y = k*x+z, где k-угловой коэффициент.

K=tgɥ(ФИ) ɥ-угол между прямой и положительным направлением оси O_x. Z – отрезок, который отсекает прямая от оси O_y.

5.2. Общее уравнение прямой имеет вид:

Общее уравнение прямой линии на плоскости в декартовых координатах:

При C = 0 прямая проходит через начало координат. Также уравнение можно переписать в виде:

5.3. Общее уравнение прямой в отрезках:

A*x + B*y + C=0,

5.4. Уравнение прямой проходящей через две заданные точки:

или в общем виде

5.5. Уравнение прямой проходящей M₀ с заданным угловым коэффициентом k:

(y-y₀) = k(x-x₀), если L₁IIL₂, то k₁=k₂, если L₁⊥L₂, то k₁*k₂=-1

5.6. Расстояние от точки до прямой:

Где L: Ax+By+C=0, а x₀и y₀–координаты точки.

5.7. Взаимное расположение двух прямых:

Ø L₁IIL₂, то k₁=k_2,

Ø L₁⊥L₂, то k₁*k₂=-1, А₁А₂ + В₁В₂ = 0,

Ø L₁∩ L₂, α = (L₁˄ L₂),

6. Прямая и плоскость в пространстве: основные уравнения, взаимное расположение двух прямых, двух плоскостей, прямой и плоскости.

6.1. Взаимное расположение двух прямых:

Ø L₁IIL₂, то k₁=k_2,

Ø L₁⊥L₂, то k₁*k₂=-1, А₁А₂ + В₁В₂ = 0,

Ø L₁∩ L₂, α = (L₁˄ L₂),

6.2. Взаимное расположение двух плоскостей:

ü Две плоскости не имеют общих точек, и, в таком случае, они называются параллельными (αIIβ).

ü Две плоскости имеют хотя бы одну общую точку, и в таком случае они называются пересекающимися. Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат обе общие точки этих плоскостей (аксиома).

6.3. Взаимное расположение прямой и плоскости:

ü Прямая может лежать в данной плоскости.

ü Прямая может пересекать данную плоскость в одной точке.

ü Прямая может быть параллельна плоскости.

6.4. Основные уравнения прямой и плоскости в пространстве:

Всякое уравнение первой степени относительно координат x, y, z

Ax + By + Cz +D = 0 (3.1)

задает плоскость, и наоборот: всякая плоскость может быть представлена уравнением (3.1), которое называется уравнением плоскости.

Вектор n (A, B, C), ортогональный плоскости, называется нормальным вектором плоскости. В уравнении (3.1) коэффициенты A, B, C одновременно не равны 0.

Особые случаи уравнения (3.1):

1. D = 0, Ax+By+Cz = 0 - плоскость проходит через начало координат.

2. C = 0, Ax+By+D = 0 - плоскость параллельна оси Oz.

3. C = D = 0, Ax +By = 0 - плоскость проходит через ось Oz.

4. B = C = 0, Ax + D = 0 - плоскость параллельна плоскости Oyz.

Уравнения координатных плоскостей: x = 0, y = 0, z = 0.

Прямая в пространстве может быть задана:

1) как линия пересечения двух плоскостей,т.е. системой уравнений:

A₁ x + B₁ y + C₁ z + D₁ = 0, A₂ x + B₂ y + C₂ z + D₂ = 0; (3.2)

2) двумя своими точками M₁(x₁, y₁, z₁) и M₂(x₂, y₂, z₂), тогда прямая, через них проходящая, задается уравнениями:

= ; (3.3)

3) точкой M₁(x₁, y₁, z₁), ей принадлежащей, и вектором a (m, n, р), ей коллинеарным. Тогда прямая определяется уравнениями:

. (3.4)

Уравнения (3.4) называются каноническими уравнениями прямой.

Вектор a называется направляющим вектором прямой.

Параметрические уравнения прямой получим, приравняв каждое из отношений (3.4) параметру t:

x = x₁ +mt, y = y₁ + nt, z = z₁ + рt. (3.5)

Решая систему (3.2) как систему линейных уравнений относительно неизвестных x и y, приходим к уравнениям прямой в проекциях или к приведенным уравнениям прямой:

x = mz + a, y = nz + b. (3.6)

От уравнений (3.6) можно перейти к каноническим уравнениям, находя z из каждого уравнения и приравнивая полученные значения:

.

От общих уравнений (3.2) можно переходить к каноническим и другим способом, если найти какую-либо точку этой прямой и ее направляющий вектор n = [ n ₁, n ₂], где n ₁(A₁, B₁, C₁) и n ₂(A₂, B₂, C₂) - нормальные векторы заданных плоскостей. Если один из знаменателей m, n или р в уравнениях (3.4) окажется равным нулю, то числитель соответствующей дроби надо положить равным нулю, т.е. система

равносильна системе ; такая прямая перпендикулярна к оси Ох.

Система равносильна системе x = x₁, y = y₁; прямая параллельна оси Oz.

7. Кривые второго порядка: эллипс, гипербола, парабола: определение, канонические уравнения, свойства, способ построения.

7.1. Кривые второго порядка:

Кривая второго порядка — геометрическое место точек, декартовы прямоугольные координаты которых удовлетворяют уравнению вида

в котором по крайней мере один из коэффициентов отличен от нуля.