Определители второго и третьего, n-го порядка, св-ва определителей, вычисление обратной матрицы

2.1. Определителем (детерминантами) 3-го порядка, соответствующим матрице, называется число, обозначаемое символом (▲)

a₁₁a₁₂a₁₃

▲ = a₂₁a₂₂a₂

a₃₁a₃₂a₃₃

и определяемое равенством ▲ (слева +, справа -)

Пусть A квадратная матрица порядка n, n>1. Определителем квадратной матрицы A порядка n называется число

det A= = ,

2.2. Свойства определителей:

2.2.1. Величина определителя не изменится, если его строки и столбцы поменять местами.

2.2.2. Перестановка двух столбцов или двух строк определителя равносильна умножению его на -1.

2.2.3. Если определитель имеет два одинаковых столбца или две одинаковые строки, то он равен нулю.

2.2.4. Умножение всех элементов одного столбца или одной строки определителя на любое число ƛ равносильно умножению определителя на это число ƛ.

2.2.5. Если все элементы некоторого столбца или некоторой строки определителя равны нулю, то и сам определитель равен нулю.

2.2.6. Если элементы двух столбцов или двух строк определителя пропорциональны, то определитель равен нулю.

2.2.7. Если каждый элемент n-го столбца (n-й строки) определителя представляет собой сумму двух слагаемых, то определитель может быть представлен в виде суммы двух определителей, из которых один в n-м столбце (n-й строке) имеет первые из упомянутых слагаемых, а другой – вторые; элементы, стоящие на остальных местах, у всех трех определителей одни и те же.

2.2.8. Если к элементам некоторого столбца (строки) определителя прибавить соответствующие элементы другого столбца (строки), умноженные на любой общий множитель ƛ, то величина определителя не изменится. Минором – некоторого элемента определителя называется определитель, получаемый из данного определителя вычеркиванием строки и столбца, на пересечении которых расположен этот элемент. Алгебраическим дополнением некоторого элемента определителя называется минор этого элемента, умноженный на (-1)^p, где p – сумма номеров строки и столбца, на пересечении которых расположен этот элемент.

2.2.9. Определитель равен сумме произведений элементов какого-нибудь столбца или строки на их алгебраические дополнения.

2.2.10. Сумма произведений элементов какого-нибудь столбца или какой-нибудь строки определителя на алгебраические дополнения соответствующих элементов другого столбца или другой строки равна нулю.