Непрерывные схемы решения нелинейных уравнений

Итерационные методы решения нелинейных уравнений (2.1) можно разбить на две группы:

дискретные схемы решения,

непрерывные схемы решения.

Дискретные схемы решения были рассмотрены выше. Заметим, что основными недостатками вышеперечисленных методов являются:

зависимость от начальных условий или от интервала нахождения корня;

сравнительно низкая скорость сходимости;

нет правил перехода от корня к корню уравнения (2.1) в случае, если их несколько.

При применении непрерывных схем для решения уравнения (2.1) процесс нахождения корней осуществляется путем решения соответствующего обыкновенного дифференциального уравнения

(2.22)

Пусть определена и монотонна при и существует конечная производная . Задачу нахождения корней уравнения (2.1), являющуюся непрерывным аналогом метода простых итераций, можно рассматривать как предел при решения задачи Коши

(2.23)

если этот предел существует. Обозначим через решение задачи Коши (2.12), - искомое решение уравнения (2.1). Тогда должно иметь место тождество . Вводя обозначение для отклонения и, вычитая из (2.23) последнее уравнение, имеем

. (2.24)

Разлагая в ряд Тейлора в окрестности точки с сохранением линейных членов и подставляя полученное выражение в (2.24), получаем дифференциальное уравнение в отклонениях , решение которого имеет вид

(2.25)

Видим, что условием сходимости к корню является требование , так как в этом случае при , и, следовательно, . Считая, что монотонна при , последнее уравнение можно распространить на всю рассматриваемую выше область. Таким образом, условием применения непрерывной схемы метода простых итераций (2.23) является

(2.26)

Непрерывные схемы решения обладают более высокой скоростью сходимости и более высокой точностью решения по сравнению с соответствующими дискретными схемами. Но проблема зависимости от начальных условий и отсутствие правил перехода от корня к корню в случае, когда уравнение (2.1) имеет более одного решения, остается открытой.

Как видно из дифференциального уравнения (2.23) и уравнения (2.1) левая часть последнего заменяется производной . Данная замена является грубым приближением решения задачи (2.23) к решению задачи (2.1). Это влечёт за собой не только большую погрешность при вычислениях, но и к снижению скорости расчётов.

Перепишем уравнение (2.1) в виде

, (2.27)

где - малый параметр, .

Переход от задачи (2.1) к задаче (2.27) теоретически обоснован, так как интегральные кривые, являющиеся решением уравнения с малым параметром (2.27), проходят через все решения уравнения (2.1). Задачу нахождения корней этого уравнения непрерывным сингулярным аналогом метода простых итераций можно рассматривать как предел при и решения задачи Коши вида

(2.28)

если этот предел существует.

Проводя рассуждения, аналогичные рассуждениям, приведенным выше, получим, что решение уравнения (2.27) в точке будет иметь вид:

(2.29)

При этом, в силу того, что , то условие сходимости (2.26) останется прежним.

Полученная модификация классических схем решения не зависит от начальных условий и обладает более высокой точностью решения. Для доказательства более быстрой скорости сходимости предположим, что применение итерационных методов никогда не дает точного решения и введем точность решения . Моменты нахождения решений с точностью классическими и модифицированными методами обозначим как и . Используя решения (2.24) и (2.29), запишем неравенства вида

,

.

Из соотношений видно, что и . Сопоставляя полученные значения и , видим, что , т.е. скорость сходимости при решении задачи модифицированными методами в раз выше, чем классическими.