Метод Ньютона (метод касательных)

Пусть известно, что нелинейное уравнение имеет на отрезке единственный вещественный корень . Причем, производные – непрерывны и сохраняют определенные знаки на отрезке . Требуется найти этот корень с заданной точностью . Найдем какое-либо -е приближенное значение корня () и уточним его методом Ньютона следующим образом.

Пусть

(2.16)

По формуле Тейлора получим

.

Следовательно, .

Внося эту правку в формулу (2.16), получим рабочую формулу метода Ньютона вида:

(2.17)

Геометрически метод Ньютона эквивалентен замене небольшой дуги кривой касательной, проведенной в некоторой точке этой кривой.

Для определенности положим и . Выберем начальное приближение , для которого . Проведем касательную к кривой в точке . За первое приближение берем точку пересечения касательной с осью . На кривой определим точку и проведем касательную к кривой в этой точке. Найдем следующее приближение и т.д. (Рис.2.10).

Составим уравнение касательной в точке :

.

Полагая , из уравнения касательной получим итерационную формулу метода Ньютона (2.17).

Если в качестве начального приближения взять другой конец отрезка , то следующее приближение .