Доказательство. Пусть для определенности , , при (остальные случа

Пусть для определенности , , при (остальные случаи рассматриваются аналогично).

Из неравенства следует, что , т.е. .

Докажем, что все приближения расположены правее , т.е. , а значит .

Доказательство проведем методом индукции:

а) .

б) предположим, что .

с) докажем, что .

Точное решение уравнения (2.1) можно представить в виде

.

Применяя формулу Тейлора, получим:

, (2.18)

где .

Так как по условию теоремы , то последнее слагаемое в (2.18) положительное, следовательно,

.

Отсюда, в силу того, что , получим:

.

Таким образом доказали, что все последовательные приближения , т.е. находятся правее , и, следовательно, .

Из соотношения (2.17), учитывая знаки и , следует, что , т.е. последовательные приближения образуют ограниченную монотонно убывающую последовательность. Т.е. эта последовательность имеет конечный предел, обозначим . Перейдем к пределу при в левой и правой частях соотношения (2.17), получим:

.

, отсюда следует, что , т.е. . А это означает, что последовательные приближения сходятся к корню уравнения (2.1), что и требовалось доказать.

Вывод: в методе Ньютона в качестве начального приближения выбирается тот конец отрезка , которому отвечает ордината того же знака, что и , т.е. выполняется достаточное условие сходимости

. (2.19)

Замечание. Чем больше числовое значение в окрестности корня , тем меньше правка . Поэтому методом Ньютона удобно пользоваться, когда в окрестности искомого корня график функции имеет большую крутизну (т.е. , тогда ). Если кривая вблизи точки пересечения с осью почти горизонтальная (т.е. , тогда ), то применять метода Ньютона для решения уравнения (2.1) не рекомендуется.

Метод Ньютона можно рассматривать как частный случай метода простых итераций, если положить . Тогда достаточное условие сходимости метода простых итераций примет вид:

для всех . (2.20)

Если выполнено условие (2.20), то итерационный процесс, заданный формулой (2.17), будет сходиться при произвольном выборе начального приближения .

Достоинства метода:

- метод Ньютона обладает достаточно большой скоростью сходимости, близкой к квадратичной;

- достаточно простое получение итерационной формулы (2.17).

Недостатки метода:

- метод Ньютона сходится не при любом выборе начального приближения ;

- метод Ньютона применим только, когда .