Доказательство. Рассмотрим два последовательных приближения и

Рассмотрим два последовательных приближения и . По условию теоремы принадлежат отрезку . Применяя теорему Лагранжа, получим:

,

где точка лежит между и . В силу условия (2.6)

. (2.7)

Придавая значения , получим

,

,

……………………………….

. (2.8)

Рассмотрим ряд

, (2.9)

для частичных сумм которого выполняется соотношение . Если докажем, что ряд (2.9) сходится, то тем самым будет доказана сходимость последовательности .

Сравним два ряда:

, (2.10)

. (2.11)

В силу соотношений (2.8) члены ряда (2.10) не превышают соответствующих членов ряда (2.11), которые являются членами геометрической прогрессии со знаменателем . Следовательно, ряд (2.10) сходится, а ряд (2.9) сходится абсолютно. Таким образом существует

,

причем .

Переходя к пределу в равенстве (2.5), в силу непрерывности функции , получим

.

Следовательно, - корень уравнения (2.4).

Докажем, что этот корень единственный. Предположим, что на отрезке существует еще один корень уравнения (2.4) . Тогда в силу теоремы Лагранжа

,

где находится между и . Отсюда . Но , поэтому выражение в квадратных скобках не равно нулю. Следовательно, , т.е. - единственный корень уравнения (2.4).

Точка при этом называется неподвижной точкой для уравнения (2.4).