![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
«Исследование функции одной переменной»
П р и м е р 17. Исследовать функцию и построить ее график.
Решение. 1) Найдем область определения функции. Для этого знаменатель не должен равняться нулю, т. е.
.
Следовательно, D = (– ¥, – 2) È (– 2; 2) È (2, + ¥).
2) Исследуем на четность и нечетность данную функцию. Для этого в функцию подставим вместо х значение (– х).
.
Так как у (– х) ¹ у (х), но у (– х) = – у (х), то данная функция является нечетной.
Также данная функция не является периодической, т. к. у (х + Т) ¹ у (х).
3) Исследуем поведение функции на концах области определения и односторонние пределы для точки х = 1.
,
,
,
,
Значит х = 2 и х = – 2 – точки разрыва второго рода, т. е. вертикальные асимптоты.
4) Найдем горизонтальные или наклонные асимптоты в виде у = k x + b, где
.
Так как k ¹ 0, то горизонтальных асимптот у данной функции нет. Найдем значение b по формуле
.
Значит, наклонная асимптота имеет уравнение у = – x.
5) Найдем промежутки возрастания и убывания функции, а также точки экстремума, т. е. у ¢ = 0:
,
Составим таблицу, по которой найдем точки экстремума и промежутки возрастания и убывания.
х | (– ¥; ![]() | ![]() | (![]() | – 2 | (– 2; 0) | (0; 2) | (2, ![]() | ![]() | (![]() | ||
у (х) | + | ![]() | + | – | – | + | – | – | ![]() | – | |
у ¢ (х) | ![]() | ![]() | – | ![]() | ![]() | – | ![]() | ![]() | |||
min | – | – | – | max |
Значит на промежутках (– ¥; ), (
, +¥) функция убывает, а на промежутках (
; – 2), (– 2; 0), (0; 2) и (2,
) – возрастает.
6) Найдем промежутки выпуклости и вогнутости функции, а также точки перегиба, т. е. у ¢¢ = 0:
,
Составим таблицу, по которой найдем точки перегиба и промежутки выпуклости и вогнутости.
х | (– ¥; – 2) | – 2 | (– 2; 0) | (0; 2) | (2; + ¥) | ||
у (х) | + | – | – | + | – | – | |
у ¢¢ (х) | ![]() | – | ![]() | ![]() | – | ![]() | |
– | ![]() | – |
Значит на промежутках (– ¥; – 2), (0; 2) функция выпукла, а на промежутках (– 2; 0), (2; + ¥) – вогнута.
7) Найдем точки пересечения с осями:
а) с осью Ох: у = 0. Тогда х = 0;
б) с осью Оу: х = 0. Тогда у = 0, т. е. график функции пересекает оси только в одной точке (0; 0).
8) Построим график данной функции (см. рис.).
Дата публикования: 2015-01-23; Прочитано: 286 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!