Задачи, приводящие к понятию производной. Дифференциальное исчисление

ГЛАВА 7

Дифференциальное исчисление

Функции одной переменной

Производная функции одной переменной

Определение 1. Производной функции у = f (x) называется величина, обозначаемая f ′(x) и равная пределу отношения приращения функции ∆у к приращению аргумента ∆ х, когда ∆ х стремиться к нулю, т. е.

Другие обозначения у ¢;

Задачи, приводящие к понятию производной

1. Задача о касательной и нормали к кривой (геометрический смысл производной).

Пусть М ₀ – фиксированная точка данной непрерывной кривой К. Рассмотрим секущую М ₀ М, проходящую через точку М ₀. Пусть точка М по кривой неограниченно приближается к точке М ₀, тогда секущая М ₀ М стремится к некоторому предельному

положению М ₀ Т, т. е. угол γ стремится к нулю при М стремящемся к М ₀. Тогда предельная прямая МТ называется касательной, проведенной к кривой К в точке М ₀.

Определение 2. Касательной к данной непрерывной кривой в данной точке М ₀ (точка касания) называется предельное положение секущей М ₀ М, проходящей через точку М ₀, когда точка М неограниченно приближается по кривой к точке М ₀.

Постановка задачи. Зная уравнение линии у = f (x), найти уравнение касательной в данной точке М (х, у), предполагая, что касательная существует.

Пусть дана функция у = f (x). Пусть аргумент х ₀ получил некоторое

приращение ∆ х. Тогда функция у получит приращение ∆ у. Таким образом:

– при значении х ₀ будет иметь у = f (x ₀),

– при значении х ₀ + ∆ х будет иметь у + ∆ у = f (x ₀ + ∆ x).

Выразим приращение функции ∆ у = f (x ₀ + ∆ x) – f (x ₀) и составим отношение

Найдем предел этого отношения при ∆ х стремящемся к нулю. Если этот предел существует, то его называют согласно определению производной данной функции f (x) в точке х ₀ и обозначают f ¢(x).

Возьмем на линии еще одну точку М ¢(х ₀+ ∆ х; у ₀+ ∆ у). Проведем секущую ММ ¢ и прямые МN || О х и М ¢ N || О у. ∆ ММ ¢ N – прямоугольный с катетами ∆ х и ∆ у. Из этого треугольника определяем угловой коэффициент секущей:

(1)

Пусть теперь М ¢ → М, тогда ∆ х → 0 и ММ ¢ → МТ – касательной в точке М. При ∆ х → 0 угол φ → α и если МТ не перпендикулярна к оси Ох, то в силу непрерывности тангенса получим

tg φ → tg α.

Отсюда, переходя к пределу при ∆ х → 0 в (1), найдем угловой коэффициент k = tg α касательной МТ:

.

Таким образом, угловой коэффициент касательной, проведенной к графику функции y = f (x) равен значению ее производной в точке касания, т. е. k = f ¢(x ₀). Зная угловой коэффициент касательной, легко написать ее уравнение:

Так как у – у ₀ = k (x – x ₀), y ₀ = f (x ₀), k = f ¢(x ₀), то

y – y ₀ = f ¢(x ₀) (x – x ₀).

Определение 3. Нормалью к кривой в точке М ₀ (х ₀, у ₀) называется перпендикуляр к касательной в той же точке.

Если k – угловой коэффициент касательной, а k ₁ – угловой коэффициент нормали, то , а т. к. k = f ¢(x ₀) легко записать уравнение нормали

Если в точке х ₀ у ¢₀ = 0, то касательная параллельна оси Ох. Тогда нормаль перпендикулярна к оси Ох и проходит через точку М ₀ (х ₀, у ₀). Это означает, что ее уравнение: х = х ₀.

2. Задача о скорости прямолинейного неравномерного движения (механический смысл производной).

Пусть х – время, прошедшее от начала отсчета; у = f (x) – расстояние, которое прошло тело за время х от начала движения. Рассмотрим промежуток времени ∆ х, прошедший от момента х до момента х + ∆ х. За это время тело пройдет путь

∆ у = f (x + ∆ x) – f (x).

Отношение пройденного пути ∆ у к промежутку времени ∆ х называется средней скоростью движения тела за данный промежуток времени

.

Средняя скорость тем лучше характеризует движение, чем меньше промежуток времени ∆ х.

Тогда мгновенной скоростью движения тела в момент времени х будет предел средней скорости при неограниченном уменьшении промежутка времени ∆ х (если этот предел существует):

.

Полученное выражение представляет производную функции у по переменной х, т. е.

.

Таким образом, скорость прямолинейного движения равна производной от пути по времени. Или, рассматривая функцию f (x) лишенную конкретного физического содержания, можно сказать, что производная функции y = f (x) в точке х есть скорость изменения функции в этой точке.

Рассмотрение задач о касательной и скорости движения исторически привело к понятию производной.

Итак, .

К подобному выражению приводят и многие другие задачи, что объясняет важность введения понятия производной. Процесс нахождения производной называется дифференцированием.

Определение 4. Если функция дифференцируема в каждой точке некоторого отрезка [ a, b ] или интервала (а, b), то говорят, что она дифференцируема на этом отрезке или интервале.

Т е о р е м а 1. (о связи между дифференцируемостью и непрерывностью функции)

Если функция дифференцируема в некоторой точке, то в этой точке функция непрерывна.

Доказательство. Пусть y = f (x) дифференцируема в точке х, т. е.

.

Тогда определим

.

По определению непрерывности следует, что y = f (x) – непрерывна. Что и требовалось доказать.

Замечание: обратное утверждение неверно: непрерывная функция может не иметь производной. Например, . Эта функция непрерывна в точке х = 0, но не является дифференцируемой для этого значения, т. к. в точке х = 0 к графику функции не существует касательной.