Решение практических задач по теме. «Производная функции одной переменной»

«Производная функции одной переменной»

П р и м е р 1. Составить уравнение касательной и нормали к кривой y ⁴ = 4 x ⁴ + 6 x y в точке А (1, 2).

Решение. а) Уравнение касательной к кривой имеет вид:

y – y ₀ = y ¢₀ (x – x ₀),

где (х ₀; у ₀) – координате точки А, а y ¢₀ – значение производной в этой точке. Найдем производную от данной неявно заданной функции

(у ⁴)¢ = 4(х ⁴)¢ + 6 (х∙у)¢;

4∙ у ³∙ у ¢ = 4 4∙ х ³ + 6∙ у + 6∙ х∙у ¢;

.

Теперь найдем значение производной в точке А (1; 2):

.

Следовательно, касательная имеет вид

y – 2 = (x – 1).

Приведем данное уравнение к общему виду, т. е.

13∙(y – 2) = 14(x – 1), 14∙ х – 13∙ у + 12 = 0.

б) Уравнение нормали к кривой имеет вид:

y – y ₀ = (x – x ₀),

где (х ₀; у ₀) – координате точки А, а y ¢₀ – значение производной в этой точке. Так как значение производной в точке А (1; 2) равно , то

Следовательно, уравнение нормали имеет вид

y – 2 = (x – 1).

Приведем данное уравнение к общему виду, т. е.

14∙(y – 2) = – 13(x – 1), 13∙ х + 14∙ у – 41 = 0.

П р и м е р 2. Найти производную функции у = 2 х ² + 1.

Решение. Чтобы найти производную данной функции воспользуемся формулами (С∙у)¢ = С× у ¢, (U ± V)¢ = U ¢ ± V ¢,

у ¢ = 2 (х ²)¢ + (1)¢ = 2∙2∙ х ^{2 – 1} + 0 = 2∙ х.

П р и м е р 3. Найти производную функции у = (х + 3)².

Решение. Чтобы найти производную данной функции воспользуемся формулами (U ± V)¢ = U ¢ ± V ¢,

у ¢ = 2 (х + 3)^{2 – 1} ∙ (х + 3)¢ = 2∙(х + 3)∙1 = 2∙ х + 6.

П р и м е р 4. Найти производную функции у = (2 х ³ – 3)∙(2 х ³ – 1).

Решение. Чтобы найти производную данной функции воспользуемся формулами

(U ± V)¢ = U ¢ ± V ¢, (U × V)¢ = V∙U ¢ + U∙V ¢,

у ¢ = (2 х ³ – 3)¢∙(2 х ³ – 1) + (2 х ³ – 3)∙(2 х ³ – 1)¢ =

= 2∙6 х ²∙(2 х ³ – 1) + 2∙6 х ²∙(2 х ³ – 3) = 48∙ х ⁵ – 48∙ х ².

П р и м е р 5. Найти производную функции .

Решение. Чтобы найти производную данной функции воспользуемся формулами:

П р и м е р 6. Найти производную функции .

Решение. Чтобы найти производную данной функции воспользуемся формулами:

.

П р и м е р 7. Найти производную функции .

Решение. Чтобы найти производную данной функции воспользуемся формулами:

П р и м е р 8. Найти производную функции .

Решение. Чтобы найти производную данной функции воспользуемся формулами:

.

П р и м е р 9. Найти производную функции .

Решение. Чтобы найти производную данной функции воспользуемся формулами:

П р и м е р 10. Найти производную функции .

Решение. Чтобы найти производную данной функции Прологарифмируем обе части равенства

.

Теперь проинтегрируем полученную функцию, учитывая, что :

П р и м е р 11. Найти вторую производную функции .

Решение. Найдем сначала первую производную данной функции

.

Теперь проинтегрируем полученную функцию еще раз

.

П р и м е р 12. Найти производную функции, заданной неявно .

Решение. Найдем производную, учитывая, что у = у (х)

, ,

, ,

П р и м е р 13. Найти производную функции .

Решение. Найдем сначала производную функции у:

.

Теперь найдем производную функции х:

.

Следовательно, производная функции :