![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Правило Лопиталя применяется для раскрытия неопределенностей вида , которые называют основными.
Неопределенности вида:
а) 0∙¥, б) ¥ – ¥, в) 00, г) ¥0, д) 1¥
сводятся к двум основным видам путем тождественных преобразований.
а) Пусть ,
. Требуется найти
. Это неопределенность вида 0∙¥. Можно искомое выражение переписать в виде
или
б) Пусть ,
. Требуется найти
. Это неопределенность вида ¥ – ¥.
.
В результате получаем либо определенность, либо неопределенность вида ¥∙0.
в) Пусть ,
. Требуется найти
. Это неопределенность вида 00.
Положив нужно прологарифмировать обе части полученного равенства:
.
Получим неопределенность типа 0∙¥. Вычислив , легко получить
, т. е.
,
и если , то
.
Аналогичным приемом находятся пределы и в случае г), д).
§ 5.Исследование функции одной переменной
Т е о р е м а 12. (о постоянстве функции на отрезке). Если функция f (x) непрерывна на отрезке [ a, b ] и имеет во всех его внутренних точках производную f ¢(x) = 0, то функция постоянна на отрезке [ a, b ].
Следствие. Если производные двух функций φ (х) и g (x) равны во всех точках отрезка [ a, b ], то разность этих функций постоянна на этом отрезке.
Т е о р е м а 13. (достаточное условие возрастания функции). Если непрерывная на отрезке [ a, b ] функция у = f (x) в каждой внутренней точке этого отрезка имеет положительную производную, то эта функция возрастает на отрезке [ a, b ].
Доказательство. Пусть f ¢(x) > 0 для всех х ∈ (a, b). Рассмотрим два произвольных значения х 1 и х 2 из [ a, b ], причем х 1 < х 2. Напишем формулу Лагранжа применительно к отрезку [ х 1, х 2]:
f (x 2) – f (x 1) = (x 2 – x 1)∙ f ¢(c), с ∈ (х 1, х 2).
По условию теоремы f ¢(с) > 0, т. к. х 1 < х 2, то и (х 2 – х 1) > 0. Тогда произведение
(х 2 – х 1)∙ f ¢(с) > 0
и, следовательно,
f (x 2) – f (x 1) > 0.
Отсюда f (x 2) > f (x 1), т. е. f (x) возрастает на отрезке [ a, b ]. Что и требовалось доказать.
Подобным же образом доказывается следующая теорема.
Т е о р е м а 14. (достаточное условие убывания функции). Если непрерывная на отрезке [ a, b ] функция у = f (x) в каждой внутренней точке этого отрезка имеет отрицательную производную, то эта функция убывает на отрезке [ a, b ].
Определение10. Функция у = f (x) имеет максимум в точке х = с, если существует такая окрестность точки х = с, что для всех точек х ¹ с из этой окрестности, выполняется неравенство f (с) > f (x).
Функция у = f (x) имеет минимум в точке х = с, если существует такая окрестность точки х = с, что для всех точек х ¹ с из этой окрестности, выполняется неравенство f (с) < f (x).
Максимум и минимум объединяются общим названием экстремум функции.
Геометрическое истолкование.
Значения функций f (с 1) и f (с 3) больше значений функции во всех «соседних» точках как слева, так и справа от с 1 и с 3 соответственно, следовательно в точках с 1 и с 3 функция f (х) имеет максимум.
Аналогично, значение функций f (с 2) и f (с 4) меньше значений функции во всех «соседних» точках как слева, так и справа от с 2 и с 4 соответственно, следовательно в точках с 2 и с 4 функция f (х) имеет минимум.
Следует отметить, что если функция имеет в точке максимум или минимум, то это не означает, что в этой точке функция имеет наибольшее или наименьшее значение во всей области ее определения. Из определения максимума (минимума) следует только то, что это самое большее (меньшее) значение функции в точках, достаточно близких к точке с.
Нетрудно видеть, что функция, изображенная на рисунке имеет наименьшее значение в точке с 2, а наибольшее в точке х = b, т. е.
f наим = f (с 2), f наиб = f (b).
Может оказаться, что минимум функции больше чем максимум:
f max(c 1) < f min(c 4).
Т е о р е м а 15. (необходимый признак существования экстремума функции). Если дифференцируемая в точке х = с функция у = f (x) имеет в этой точке экстремум, то ее производная при х = с обращается в ноль, т. е. f ¢(с) = 0.
Доказательство. Пусть, для определенности, функция у = f (x) имеет в точке с максимум. Согласно определению максимума, должна существовать такая окрестность точки с, что для любого х (х ¹ с) этой окрестности
f (с) > f (x),
т. е. f (с) – наибольшее значение функции в этой окрестности. Так как по условию функция имеет в точке с производную f ¢(с), то по теореме Ферма
f ¢(с) = 0.
Аналогично доказывается теорема и для случая минимума функции.
Замечание. Функция может достигать экстремума, так же в точке, в которой производная не существует. Например, у = | x | не имеет производной в точке х = 0, но достигает в ней минимума. Функция
, не имеет в точке х = 0 производной, но достигает в ней максимума.
С л е д с т в и е. Если непрерывная функция у = f (x) имеет в точке х = с экстремум, то производная f ¢(с) обращается в ноль или не существует.
Определение 11. Значения аргумента, при которых производная обращается в ноль или терпит разрыв, будем называть стационарными или критическими точками функции (точки подозрительные на экстремум).
Замечание. Не всякая стационарная точка является точкой экстремума, т. е. условие того, что у ¢ = 0 не является достаточным условием существования экстремума. Так, например, функция у = х 3 в точке х = 0 имеет f ¢(0) = 0:
у ¢ = 3 х 2 = 0, следовательно х = 0,
х = 0 – стационарная точка. Однако в этой точке функция не имеет экстремума. Действительно, как бы ни была близка точка х к точке О, всегда х 3 < 0 при х < 0 и х 3 > 0 при х > 0.
Т е о р е м а 16. (первый достаточный признак существования экстремума). Если производная функции f ¢(x) при переходе аргумента слева направо через критическую точку х = с меняет знак с плюса на минус, то функция в точке с имеет максимум, а при перемене знака с минуса на плюс – минимум, т. е. если f ¢(с) = 0 и
– при f (c) –максимум;
– при f (с) – минимум.
Замечание. Если производная f ¢(x) не меняет знака при переходе через критическую точку, то функция в этой точке не имеет ни максимума, ни минимума.
Т е о р е м а 17. (второй достаточный признак существования экстремума). Пусть f ¢(с) = 0. Тогда, если f ¢¢(с) < 0, то в точке х = с функция имеет максимум; если f ¢¢(с) > 0, то в точке х = с функция имеет минимум.
Определение 12. График функции у = f (x) называется выпуклым вверх (выпуклым) в интервале (а, b), если он расположен ниже любой своей касательной на этом интервале.
График функции у = f (x) называется выпуклым вниз (вогнутым) в интервале (а, b), если он расположен выше любой своей касательной на этом интервале.
![]() | |||
![]() | |||
График выпуклый График вогнутый
Т е о р е м а 18. (достаточный признак выпуклости (вогнутости) графика функции). Пусть у = f (x) имеет вторую производную во всех точках интервала (а, b). Если во всех точках этого интервала f ¢¢(х) < 0, то график функции в этом интервале выпуклый, если же f ¢¢(х) > 0, – вогнутый.
Определение 13. Точка графика, при переходе через которую график функции у = f (x) меняет характер выпуклости, называется точкой перегиба.
Нахождение точек перегиба графика функции основано на следующих теоремах.
Т е о р е м а 19. (достаточный признак существования точки перегиба). Если вторая производная f ¢¢(х) меняет знак при переходе через точку х 0, то точка с абсциссой х = х 0 является точкой перегиба графика функции.
Доказательство. Пусть, например, f ¢¢(х) < 0 при x < x 0 и f ¢¢(х) > 0 при x > x 0. В этом случае слева от точки х 0 график выпуклый, а справа от точки х 0 – вогнутый.
Следовательно, при переходе через точку х 0 график у = f (x) меняет характер выпуклости. Тогда по определению точка х 0 является точкой перегиба.
Т е о р е м а 20. (необходимый признак существования точки перегиба). Пусть функция у = f (x) имеет в интервале (а, b) непрерывную производную f ¢¢(х). Тогда, если точка с абсциссой x 0 ∈ (а, b) является точкой перегиба графика данной функции, то f ¢¢(х 0) = 0.
Доказательство. Пусть х 0 – точка перегиба с выпуклости на вогнутость, тогда f ¢¢(х) < 0 при х < х 0 и f ¢¢(х) > 0 при х > х 0. Тогда по первому достаточному признаку существования экстремума (теорема 5) х = х 0 – точка минимума функции f ¢(х). Следовательно, по необходимому условию существования экстремума (теорема 4) f ¢¢(х 0) = 0.
Рассмотрим рисунки:
![]() |
Определение 14. Асимптотой графика функции у = f (x) называется прямая линия, обладающая тем свойством, что расстояние от переменной точки на графике до прямой стремится к нулю при неограниченном удалении этой точки по графику от начала координат (см. примеры на рис. выше).
Классификация асимптот: наклонная (не параллельна ни одной из осей координат), горизонтальная (параллельна оси Ох), вертикальная (параллельна оси Оу).
Дата публикования: 2015-01-23; Прочитано: 185 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!