Упражнения для самостоятельного решения

1. По данным векторам и построить векторы:

а) ; б) ; в) ; г) ;

2. Найти проекции вектора на оси координат, если , А (0; 0; 1), В (3; 2; 1), С (4; 6; 5), D (1; 6; 3). Ответ: .

3. Даны точки М (1; 2; 3) и N (3; – 4; 6). Найти длину и направление вектора . Ответ: .

4. Угол составляет с осями Ох и Оz углы 40º и 80º. Найти его угол с осью Оу. Ответ: β ≈ 52º или 128º.

5. Даны точки А (2; 2; 0) и В (0; – 2; 5). Построить вектор и определить его длину и направление. Ответ: .

6. Вектор составляет с осями координат равные острые углы. Определить эти углы и построить вектор , если длина равна . Ответ: .

7. Определить угол между векторами и . Ответ: 135º.

8. Даны векторы . Найти . Ответ: 5.

9. Найти скалярное произведение векторов и , если . Ответ: – 96.

10. Найти вектор коллинеарный вектору и удовлетворяющий условию . Ответ: {2; 4; – 6}.

11. При каком значении λ векторы и взаимно перпендикулярны? Ответ: – 5.

12. В треугольнике АВС вершины имеют координаты А (1; 1; – 1), В (2; 3; 1), С (3; 2; 1). Найти: а) длины сторон; б) внутренние углы; в) острый угол между медианой ВD и стороной АС. Ответ: а) 3; 3; ; б) ≈ 76º; 76º; 27º; в) ≈ 50º.

13. Упростить выражения:

а) . Ответ: 3.

б) . Ответ: .

в) . Ответ: .

14. Найти векторное произведение векторов и . Ответ: .

15. Дано: . Найти . Ответ: .

16. Найти площадь треугольника с вершинами А (2; 2; 2), В (4; 0; 3) и С (0; 1; 0). Ответ: .

17. Даны два вектора и , для которых , , . Найти: а) ; б) . Ответ: а) 6; б) 66.

18. Даны векторы: и . Найти: а) ; б) . Ответ: а) {10; 10; 10}; б) .

19. Даны векторы . Найти векторное произведение, синус угла между ними, площадь параллелограмма построенного на этих векторах. Ответ: {– 40; 40; 20}; ; 60.

20. Найти координаты вектора , перпендикулярного оси аппликат и вектору . Вектор образует острый угол с осью абсцисс; . Ответ: {45; 24; 0).

21. Дано , , . Найти . Ответ: ± 30.

22. Найти единичный вектор , перпендикулярный каждому из векторов . Ответ: .

23. Вычислить произведение , если . Ответ: –10.

24. Показать, что векторы компланарны.

25. Показать, что точки А (5; 7; – 2), В (3; 1; – 1), С (9; 4; – 4), D (1; 5; 0) лежат в одной плоскости.

26. Найти объем параллелепипеда, построенного на векторах . Ответ: 12.

27. Найти объем треугольной призмы, построенной на векторах . Ответ: .

28. Найти высоту параллелепипеда, построенного на векторах , опущенную на грань, построенную на векторах и . Ответ: .

29. Вектор перпендикулярен векторам и ; , , , . Найти . Ответ: ± 27.

30. Дан параллелепипед АВСDA ₁ B ₁ C ₁ D ₁, построенный на векторах . Найти:

а) объем параллелепипеда; (Ответ: 12.)

б) площадь грани АВСD; (Ответ: .)

в) длину высоты, проведенной из вершины А; (Ответ: .)

г) угол между ребром АВ и диагональю ВD ₁. (Ответ: .)

31. Даны три вектора . Найти вектор как линейную комбинацию векторов , , . Ответ: .