Простые задачи на декартовы координаты

1. Если известны координаты векторов, то линейные операции над векторами можно заменить арифметическими действиями над их проекциями. Так, если

то ,

. (2)

2. Условие коллинеарности векторов. Если и , то тогда и только тога, когда выполняется условие:

(3)

(векторы когда пропорциональны их соответствующие координаты).

3. Зная проекции вектора , можно легко найти выражение для его модуля.

.

Итак, модуль вектора равен квадратному корню из суммы квадратов его координат.

4. Направляющие косинусы.

Определение 19. Пусть вектор помещен в прямоугольные декартовы координаты x, y, z.

Условимся обозначать: , , . Тогда cos α, cos β, cos γ называются направляющими косинусами данного вектора .

Пусть . Координаты вектора в декартовом базисе равны

. (4)

Возводя в квадрат и складывая, найдем зависимость между направляющими косинусами вектора :

cos²α + cos²β + cos²γ=1

Координаты единичного вектора в декартовом базисе равны его направляющим косинусам, т. е.

.

Направляющие косинусы вектора полностью определяют его направление, но ничего не говорят о его длине.

5. Определение координат вектора по заданным координатам его начала и конца. Пусть даны две точки А (х ₁, у ₁, z ₁), В(х ₂, у ₂, z ₂). Из определения проекции вектора на ось следует, что

. (5)

§6. Скалярное произведение векторов

Определение 20. Скалярным произведением векторов и называется скалярная величина, обозначаемая и равная произведению модулей векторов на косинус угла между ними, т. е.

. (6)