Решение практических задач по теме

«Линейная зависимость векторов. Смешанное произведение»

Пример 3. Заданы векторы , и . Требуется:

1. Проверить, компланарны ли векторы , , .

2. Проверить, коллинеарны ли векторы , .

3. Проверить, ортогональны ли векторы и .

4. Найти , ортогональный векторам и .

5. Объем пирамиды, построенный на векторах , и .

6. Вектор как линейную комбинацию векторов , и .

Решение. 1) Компланарность векторов можно проверить с помощью смешанного произведения, т. е. по формуле (12):

.

Следовательно векторы , , не компланарны.

2) Коллинеарность векторов проверим по формуле (10), но сначала найдем координаты векторов , по формуле (1):

.

Аналогично найдем :

.

Тогда

.

Следовательно векторы , не коллинеарны.

3)Ортогональность векторов и проверим по формуле (6):

.

Значит векторы не ортогональны.

4) Найти , ортогональный векторам и можно по формуле:

, где .

Следовательно,

.

5) Объем пирамиды, построенный на векторах , и численно равен абсолютной величине смешанного произведения этих векторов. Поэтому .

6) Для нахождения вектора как линейную комбинацию векторов , и необходимо разложить его по данным векторам как по базису. То, что векторы , и образуют базис, уже показано, так как смешанное произведение отлично от нуля.

Обозначим неизвестные координаты вектора в новом базисе – х, у, z. Тогда для их нахождения имеем следующую систему уравнений

,

где определитель матрицы системы равен 1.

Используем для решения системы уравнений формулу Крамера. Предварительно вычислим определители, полученные путем замены в определители А элементов первого столбца на соответствующие элементы столбца свободных членов рассматриваемой системы:

, , .

Тогда по формулам Крамера получим:

или вектор как линейная комбинация векторов нового базиса имеет следующий вид

.