Базис на плоскости и в пространстве

Определение 12. Пусть задана совокупность из n векторов и n чисел λ₁, λ₂, …, λ _п. Сумма произведений этих векторов на числа называется линейной комбинацией векторов, т. е.

Определение 13. Векторы называются линейно зависимыми, если существуют числа λ₁, λ₂, …, λ _п. не все равные нулю, для которых имеет место равенство

Определение 14. Если данное равенство имеет место только при λ₁ = λ₂ = … = λ _n = 0, то векторы называются линейно независимыми.

Таким образом, если несколько векторов линейно зависимы, то хотя бы один из них всегда можно представить в виде линейной комбинации других.

Т е о р е м а 1. Для того чтобы два вектора на плоскости были линейно независимы, необходимо и достаточно, чтобы они были неколлинеарными.

Максимальное число линейно независимых векторов на плоскости равно двум.

Т е о р е м а 2. Для того чтобы три вектора в пространстве были линейно независимы, необходимо и достаточно, чтобы они были некомпланарными.

Максимальное число линейно независимых векторов в пространстве равно трем.

Одним из важнейших понятий линейной и векторной алгебры является понятие базиса.

Определение 15. Базисом на плоскости называются два любых линейно независимых (не параллельных) вектора.

Пусть – любой вектор на плоскости, а векторы и образуют базис, т. е. линейно независимы. Так как на плоскости три вектора линейно зависимы, то вектор линейно выражается через векторы базиса, т. е.

= λ₁ + λ₂ .

Если вектор представлен в таком виде, то говорят, что он разложен по базису, образованному векторами и . Числа λ₁, λ₂ называют координатами вектора в данном базисе.

Т е о р е м а 3. Разложение вектора по базису и является единственным.

Определение 16. Базисом в пространстве называются три любых линейно независимых вектора (некомпланарны).

Как и в случае плоскости, любой вектор однозначно разлагается по векторам , , базиса, т. е. = λ₁ + λ₂ + λ₃ . Числа λ₁, λ₂, λ₃ называются координатами вектора в данном базисе.