![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Определение. Если каждому натуральному числу ставится в соответствие по некоторому закону функция
, определенная на множестве
, то говорят, что на множестве
задана функциональная последовательность
. Множество
называется областью определения последовательности
.
Определение. сходится в точке
, если числовая последовательность
сходится. Множество всех точек
в которых
сходится, называется областью сходимости функциональной последовательности
.
- область сходимости
. Пусть
- обозначение предельного значения. Совокупность всех предельных значений есть функция, определенная на множестве
. Эта функция
называется предельной функцией последовательности
.
Замечание. Точечная сходимость на некотором множестве
не гарантирует сохранения свойств членов последовательности (например, свойства непрерывности, интегрируемости и т.д.)
[править]Функциональные ряды
Пусть дана функциональная последовательность определенная на множестве
.
Формальное выражение вида называется функциональным рядом.
Множество - область определения ряда. Сумма
первых членов ряда
называется
-ой частичной суммой функционального ряда. Заметим, что
является функциональной последовательностью, определенной на
.
Пусть точка
Определение. Функциональный ряд сходится в точке
, если числовой ряд
сходится. Множество
точек
, где
сходится, называется областью сходимости ряда.
Определение. Функциональный ряд сходится на множестве
, если последовательность
его частичных сумм сходится на
.
Если функциональный ряд сходится на множестве , то его сумма есть функция
, определенная на
. Очевидно,
есть предел функциональной последовательности
.
Замечание. Поточечная сходимость ряда на множестве не гарантирует сохранения свойств членов ряда для сумм ряда.
[править]Абсолютная сходимость
Определение. Функциональный ряд сходится абсолютно на множестве
, если функциональный ряд
сходится на множестве
(
может быть одной точкой)
Утверждение. Если сходится абсолютно на множестве
, то он сходится на нём и в обычном смысле
Доказательство. Ряд сходится абсолютно на множестве
,
ряд
сходится на
,
числовой ряд
сходится
числовой ряд
сходится абсолютно
числовой ряд
сходится и в обчном смысле. Так как
- произвольная точка из
числовой ряд
сходится в обчном смысле на множестве
.
Из утверждения следует, что , то есть область абсолютной сходимости функционального ряда принадлежит его области сходимости. Обратное неверно.
Замечание. Абсолютная сходимость ряда на множестве так же не гарантирует сохранения свойст его членов ряда для его сумм.
[править]Равномерная сходимость
Определение. Последовательность сходится равномерно к функции
на множестве
, если
. (
не может быть одной точкой).
Замечание. Из равномерной сходимости на множестве
следует обычная (точечная) сходимость этой же последовательности на
. Обратное неверно.
Определение. Последоваельность сходится равномерно на
, если существует
, такая что
сходится равномерно к
на
. Обозначается
на
.
[править]Геометрический смысл равномерной сходимости
, то есть графики всех функций с номером
на множестве
лежат в "
-полоске" графика функции
.
[править]Критерий Коши равномерной сходимости функциональной последовательности
Теорема. сходится равномерно на
тогда и только тогда, когда
.
Доказательство. ()
сходится равномерно на
функция
определенная на
такая что
на
.
Фиксируется .
для
.
.
() Имеем:
.
Критерий Коши выполнени (фиксированного).
фиксированного
числовая последовательность
сходится в фиксированному числу.
функциональная последовательность
сходится к некоторой функции
на
. Докажем
на
.
Имеем по условию: .
Для любого фиксированного
переходим в неравенстве
к
.
функциональная последовательность
на
.
[править]Критерий Коши равномерной сходимости функционального ряда
Определение. Функциональный ряд сходится равномерно на
к функции
, если
на
.
Определение. Функциональный ряд сходится равномерно на
если,
сходится равномерно на
.
Обозначим через где
- сумма ряда. Тогда величина
называется остатком ряда.
Функциональный ряд сходится равномерно на к функции
. Получаем эквивалентное определение равномерной сходимости функционального ряда.
Определение. Функциональный ряд сходится равномерно на
, если последовательность
на
.
Теорема (Критерий Коши равномерной сходимости функционального ряда). Если функциональный ряд сходится равномерно на множестве
Доказательство. Функциональный ряд сходится равномерно на
сходится равномерно на
по критиерю Коши для функциональной последовательности:
.
.
[править]Необходимое условие равномерной сходимости фунционального ряда
Теорема. Если функциональный ряд сходится равномерно на множестве
, тогда функциональная последовательность
на
.
Доказательство. Функуиоанльный ряд сходится равномерно на множестве
, слодовательно по критерию Коши у м
. В частности, при
имеем
. Следовательно,
сходится равномерно к нулю на
[править]Признак Вейерштрасса равномерной сходимости
Теорема (Признак Вейерштрасса равномерной сходимости функционального ряда). Пусть дан функциональный ряд на множестве . Пусть существует сходящийся числовой ряд
такой, что
. Тогда функциональный ряд
сходится абсолютно и равномерно на множестве
. В этом случае числовой ряд
называется мажорирующим рядом для функционального ряда
.
Доказательство.
1) Докажем, что функциональный ряд сходится абсолютно на множестве
.
Имеем:
числовой ряд
сходится по признаку сравнения так как ряд из
сходится
сходится на
сходится абсолютно на
. Кроме того ряд
сходится к некоторой функции
на множестве
.
2) Докажем, что функциональный ряд сходится равномерно к
на множестве
. Обозначим:
.
рассмотрим
Числовой ряд сходится
сходится равномерно на
.
[править]Непрерывность суммы функционального ряда
Теорема. Пуcть функциональная последовательность определена в
и выполнены свойства
1) все члены последовательности непрерывны в точке
2) функциональная последовательность сходится равномерно в окрестности к функции
Тогда функция непрерывна в точке
Доказательство. в
. Фиксируем
для
(в частности).
. Фиксируем номер
, соответствующая ему
непрерывна в точке
для
Рассмотрим (где
- фиксировано выше), если
непрерывна в точке
.
Теорема. Пусть функциональный ряд сходится равномерно в
последовательность частичных сумм
в
.
Доказательство. Так как все функции непрерывны в точке
все частичные суммы
непрерывны в
непрерывна в точке
Замечание. Из доказательства теоремы видно, что справедливо увтреждение
Утверждение. Пусть функциональная последоваетльность сходится равномерно к
на промежутке
и все члены последовательности
непрерывны на
, тогда
непрерывна на
.
Замечание. Если функциональный ряд сходится равномерно на
и все функции
непрерывны на
, то суммы ряда
непрерывны на
.
Дата публикования: 2015-02-03; Прочитано: 587 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!