Функциональные последовательности

Определение. Если каждому натуральному числу ставится в соответствие по некоторому закону функция , определенная на множестве , то говорят, что на множестве задана функциональная последовательность . Множество называется областью определения последовательности .

Определение. сходится в точке , если числовая последовательность сходится. Множество всех точек в которых сходится, называется областью сходимости функциональной последовательности .

- область сходимости . Пусть - обозначение предельного значения. Совокупность всех предельных значений есть функция, определенная на множестве . Эта функция называется предельной функцией последовательности .

Замечание. Точечная сходимость на некотором множестве не гарантирует сохранения свойств членов последовательности (например, свойства непрерывности, интегрируемости и т.д.)

[править]Функциональные ряды

Пусть дана функциональная последовательность определенная на множестве .

Формальное выражение вида называется функциональным рядом.

Множество - область определения ряда. Сумма первых членов ряда называется -ой частичной суммой функционального ряда. Заметим, что является функциональной последовательностью, определенной на .

Пусть точка

Определение. Функциональный ряд сходится в точке , если числовой ряд сходится. Множество точек , где сходится, называется областью сходимости ряда.

Определение. Функциональный ряд сходится на множестве , если последовательность его частичных сумм сходится на .

Если функциональный ряд сходится на множестве , то его сумма есть функция , определенная на . Очевидно, есть предел функциональной последовательности .

Замечание. Поточечная сходимость ряда на множестве не гарантирует сохранения свойств членов ряда для сумм ряда.

[править]Абсолютная сходимость

Определение. Функциональный ряд сходится абсолютно на множестве , если функциональный ряд сходится на множестве ( может быть одной точкой)

Утверждение. Если сходится абсолютно на множестве , то он сходится на нём и в обычном смысле

Доказательство. Ряд сходится абсолютно на множестве , ряд сходится на , числовой ряд сходится числовой ряд сходится абсолютно числовой ряд сходится и в обчном смысле. Так как - произвольная точка из числовой ряд сходится в обчном смысле на множестве .

Из утверждения следует, что , то есть область абсолютной сходимости функционального ряда принадлежит его области сходимости. Обратное неверно.

Замечание. Абсолютная сходимость ряда на множестве так же не гарантирует сохранения свойст его членов ряда для его сумм.

[править]Равномерная сходимость

Определение. Последовательность сходится равномерно к функции на множестве , если . ( не может быть одной точкой).

Замечание. Из равномерной сходимости на множестве следует обычная (точечная) сходимость этой же последовательности на . Обратное неверно.

Определение. Последоваельность сходится равномерно на , если существует , такая что сходится равномерно к на . Обозначается на .

[править]Геометрический смысл равномерной сходимости

, то есть графики всех функций с номером на множестве лежат в " -полоске" графика функции .

[править]Критерий Коши равномерной сходимости функциональной последовательности

Теорема. сходится равномерно на тогда и только тогда, когда .

Доказательство. () сходится равномерно на функция определенная на такая что на .

Фиксируется . для .

.

() Имеем: .

Критерий Коши выполнени (фиксированного). фиксированного числовая последовательность сходится в фиксированному числу. функциональная последовательность сходится к некоторой функции на . Докажем на .

Имеем по условию: . Для любого фиксированного переходим в неравенстве к . функциональная последовательность на .

[править]Критерий Коши равномерной сходимости функционального ряда

Определение. Функциональный ряд сходится равномерно на к функции , если на .

Определение. Функциональный ряд сходится равномерно на если, сходится равномерно на .

Обозначим через где - сумма ряда. Тогда величина называется остатком ряда.

Функциональный ряд сходится равномерно на к функции . Получаем эквивалентное определение равномерной сходимости функционального ряда.

Определение. Функциональный ряд сходится равномерно на , если последовательность на .

Теорема (Критерий Коши равномерной сходимости функционального ряда). Если функциональный ряд сходится равномерно на множестве

Доказательство. Функциональный ряд сходится равномерно на сходится равномерно на по критиерю Коши для функциональной последовательности: . .

[править]Необходимое условие равномерной сходимости фунционального ряда

Теорема. Если функциональный ряд сходится равномерно на множестве , тогда функциональная последовательность на .

Доказательство. Функуиоанльный ряд сходится равномерно на множестве , слодовательно по критерию Коши у м . В частности, при имеем . Следовательно, сходится равномерно к нулю на

[править]Признак Вейерштрасса равномерной сходимости

Теорема (Признак Вейерштрасса равномерной сходимости функционального ряда). Пусть дан функциональный ряд на множестве . Пусть существует сходящийся числовой ряд такой, что . Тогда функциональный ряд сходится абсолютно и равномерно на множестве . В этом случае числовой ряд называется мажорирующим рядом для функционального ряда .

Доказательство.

1) Докажем, что функциональный ряд сходится абсолютно на множестве .

Имеем: числовой ряд сходится по признаку сравнения так как ряд из сходится сходится на сходится абсолютно на . Кроме того ряд сходится к некоторой функции на множестве .

2) Докажем, что функциональный ряд сходится равномерно к на множестве . Обозначим: . рассмотрим

Числовой ряд сходится сходится равномерно на .

[править]Непрерывность суммы функционального ряда

Теорема. Пуcть функциональная последовательность определена в и выполнены свойства

1) все члены последовательности непрерывны в точке

2) функциональная последовательность сходится равномерно в окрестности к функции

Тогда функция непрерывна в точке

Доказательство. в . Фиксируем для (в частности). . Фиксируем номер , соответствующая ему непрерывна в точке для

Рассмотрим (где - фиксировано выше), если непрерывна в точке .

Теорема. Пусть функциональный ряд сходится равномерно в последовательность частичных сумм в .

Доказательство. Так как все функции непрерывны в точке все частичные суммы непрерывны в непрерывна в точке

Замечание. Из доказательства теоремы видно, что справедливо увтреждение

Утверждение. Пусть функциональная последоваетльность сходится равномерно к на промежутке и все члены последовательности непрерывны на , тогда непрерывна на .

Замечание. Если функциональный ряд сходится равномерно на и все функции непрерывны на , то суммы ряда непрерывны на .