Билет №16(Определенный интеграл.Схема построения и свойства определенного интеграла)

Билет «18(Теорема о вычислении определенного интеграла)

Если вспомним, что при совпадении пределов интегрирования интеграл обращается в нуль, то сразу увидим, что

Отсюда и из (19) вытекает, что C0 = - F(a),

и потому

В частности, при x = b находим:

(20)

Эта формула (называемая формулой Ньютона-Лейбница) сводит вопрос о вычислении определенного интеграла любой непрерывной функции к нахождению для нее первообразной функции. По существу этим перекинут мост между двумя частями математического анализа - дифференциальным исчислением (к которому, собственно, надо отнести и понятие первообразной функции) и интегральным исчислением, которое изучает в основном пределы интегральных сумм. К концу XVII в. оба эти исчисления были разработаны уже весьма обстоятельно, но то, что они связаны между собой, еще не было выяснено. Заслугой Ньютона и Лейбница является именно установление факта этой связи. Видим, что в основе ее лежит предложение, составляющее содержание теоремы, почему мы и назвали эту теорему основной теоремой математического анализа.

Ввиду чрезвычайной важности установленного результата придадим ему форму следующего правила:

Правило. Для вычисления определенного интеграла от непрерывной функции надо найти для нее первообразную функцию и составить разность значений этой последней функции при верхнем и нижнем пределах интегрирования.

При выводе этого правила и выражающей его формулы (20) мы считали, что a < b. Однако это не существенно. Действительно, при a = b формула (20) очевидна, т. к. обе ее части равны нулю. Случай же a > b приводится к случаю a < b переменой знака обеих частей формулы (20).

Формулу (20) можно переписать иначе, если ввести очень удобное обозначение разности F(b) - F(a) символом

При этом обозначении формула (20) принимает вид

Если заметить, что в качестве F(x) может быть использована любая первообразная F(x) + C, то формулу Ньютона-Лейбница можно будет записать и так:

Это, пожалуй, наиболее выразительная ее запись.