Вычисление длины дуги плоской кривой при различных способах ее задания

1) Если кривая L является графиком функции y=f(x) и непрерывна на [a, b], то кривая L спрямляема, и длина l ее дуги вычисляется по формуле

.

Доказательство. График функции представляет кривую, определяемую параметрическими уравнениями x=t, y=f(t), a t b, и выполнены условия теоремы о достаточных условиях спрямляемости и длине дуги плоской кривой. Полагая (t)=t, (t)=f(t) и заменяя переменную интегрирования t на x, получим

.

2) Кривая L определяется полярным уравнением r = r(), _{1 2} и r() имеет на [ ₁, ₂] непрерывную производную, тогда кривая L спрямляема, и длина l дуги L может быть найдена по формуле

Формула перехода от полярных координат к декартовым координатам , следовательно, L определяется параметрическими уравнениями, в которых функции удовлетворяют условиям теоремы, откуда следует, что

Примеры. 1) Найти длину линии, заданной уравнениями

Перейдем к параметрическим уравнениям

2) Найти длину дуги полукубической параболы у²=х³, заключенной между точками (0,0) и (4,8).

Так как х 0, то и Следовательно,

3. Найти длину первого витка архимедовой спирали = а

Первый виток архимедовой спирали образуется при изменении полярного угла от 0 до 2 Поэтому .

Пусть кривая АВ задана уравнением y = f (x), а ≤ х ≤ b, и пусть функция y = f (x) неотрицательна и непрерывна вместе со своей первой производной на отрезке [а, b]. Тогда поверхность, образованная вращением кривой АВ вокруг оси ОХ, имеет площадь S, которая может быть вычислена по формуле

Доказательство. Возьмем на кривой АВ точку М с абсциссой х. Тогда длина дуги АМ определяется формулой

Разобьем кривую АВ на n частей точками А = А ₀, A ₁, A ₂, …, A _{i - 1}, A _i, …, A_n = B. (смотри рисунок.)Длину частичной дуги A _{i - 1}A_i обозначим через Δ l = l _i − l _{i - 1}. Заменим кривую ломаной с указанными вершинами. При вращении ломаной вокруг оси Ох получим поверхность, составленную из n боковых поверхностей усеченных конусов. Площадь боковой поверхности i-го усеченного конуса равна произведению длины окружности 2··R (R равно полусумме радиусов верхнего и нижнего оснований конуса) на длину образующей (хорды А _{i - 1}А _i). Поэтому, если положить R = y(ξ _i), x _{i - 1} ≤ ξ _i ≤ x _i, и считать длину хорды А_{i - 1} A_i, равной Δ l_i, то получим, что площадь S_i боковой поверхности вращения приближенно равной

S_i ≈ 2 π y(ξ_i) Δ l_i.

Площадь всей поверхности вращения приближенно равна сумме площадей частичных поверхностей S_i т.е.

Эта сумма является интегральной суммой. Так как функция у (x) непрерывна на [0, L], то предел этой суммы при

существует и равен определенному интегралу от функции у(x) по l. Следовательно,

Или

Перейдем в интеграле от переменной интегрирования l к переменной х. Эти переменные связаны формулой

Если l = 0, то х = а, если l = L, то х = b. А так как

,

окончательно получим

Замечание. Если поверхность получается вращением кривой АВ, заданной уравнением х = φ (у), с ≤ у ≤ d вокруг оси Оу, то ее площадь поверхности равна

Объём тела вращения

В частном случае, когда тело образовано вращением вокруг оси Ох криволинейной трапеции, заданной непрерывной функцией y = f (x), а ≤ x ≤ b, объем тела вращения вычисляется по формуле

Действительно, сечение тела вращения плоскостью, перпендикулярной оси Ох и проходящей через точку (х, 0), представляет собой круг радиуса f(x). Площадь этого сечения (площадь круга) равна S (x) = π (f (x))². Из формулы объёма тела по параллельным сечениям получаем формулу

Замечание. Если криволинейная трапеция 0 ≤ х ≤ φ (у), а ≤ у ≤ b вращается вокруг оси Оу, то объем тела вращения найдём по формуле

Центр тяжести материальной кривой

Рассмотрим некоторую плоскую кривую АВ. Будем предполагать, что:

• 1) кривая задана параметрически уравнениями х = φ (l), у = ψ (l), 0 ≤ l ≤ L, где параметр l — длина дуги, отсчитываемая от точки А, L — длина всей кривой АВ, и функции φ (l) и ψ (l) непрерывны на [0, L];
• 2) кривая однородна, т.е. ее линейная плотность ρ (масса, приходящаяся на единицу длины) постоянна и для простоты равна единице.

Определим статические моменты этой кривой относительно осей Ох и Оу и ее центр тяжести. Для этого разобьем кривую АВ на n частей точками А = А₀(х₀, у₀), А₁(х₁, у₁), …, А_i(x_i, y_i), А_{i + 1}(x_{i + 1}, y_{i + 1}), …, А_n(x_n, y_n) = В и пусть этим точкам соответствуют значения l₀ = 0 < l₁ < l₂ < … < l_i < l_{i + 1} < … < l_n = L параметра l. Обозначим длину дуги A_i A_{i + 1} через Δl_i = l_{i + 1} − l_i, а массу этой дуги через m_i = ρ·Δ l_i (смотри рисунок.). Сосредоточим массу каждой из частей A_iA_i+1 в одной какой-нибудь ее точке, например в точке A_i(x_i, y_i). При этом условии всю кривую АВприближенно можно заменить системой материальных точек А₁, А₂, …, А_n. Тогда статический момент М_x кривой АВ приближенно равен сумме статических моментов системы материальных точек относительно оси Ох:

С другой стороны, эта сумма является интегральной суммой для функции у = ψ(l), и так как эта функция непрерывна на [0, L], то предел этой интегральной суммы при

существует и равен определенному интегралу от функции у = ψ(l) по промежутку [0, L]. Следовательно,

Аналогично найдем

Поскольку масса всей кривой m = ρ·L, по определению центра тяжести получаем

,

В частном случае, когда кривая АВ задана уравнением y = f (x), а ≤ х ≤ b и дифференциал дуги равен

,

координаты центра тяжести кривой АВ вычисляют по формулам

,

Дополнение

Некоторые приложения интеграла

Площадь криволинейной трапеции

(f непрерывна и неотрицательна).

Площадь фигуры, ограниченной линиями y = f(x), y = g(x), x = a, x = b,

Площадь криволинейного сектора в полярных координатах

Объем фигуры через площади поперечных сечений

Объем фигуры, полученной вращением криволинейной трапеции

Вокруг оси

Вокруг оси

Длина кривой

1. Заданной уравнением

2. Заданной параметрически:

a) на плоскости

б) в пространстве

3. Заданной полярным уравнением

Площадь поверхности фигуры вращения

1. Полученной вращением кривой вокруг оси Ox,

2. Полученной вращением кривой вокруг оси Ox,

Центр масс кривой

( - плотность кривой).

Масса:

Статические моменты относительно координатных осей:

Координаты центра масс:

Центр масс криволинейной трапеции

(плотность постоянная)

Масса:

Статические моменты относительно координатных осей:

Координаты центра масс:

Числовой ряд — это числовая последовательность, рассматриваемая вместе с другой последовательностью, которая называется последовательностью частичных сумм (ряда).

Рассматриваются числовые ряды двух видов

§ вещественные числовые ряды — изучаются в математическом анализе;

§ комплексные числовые ряды — изучаются в комплексном анализе;

Важнейший вопрос исследования числовых рядов — это сходимость числовых рядов.

Числовые ряды применяются в качестве системы приближений к числам.

Числовым рядом (ч. р.) называется выражение, полученное последовательным сложением членов числовой последовательности т.е. й частичной суммой ряда называется

Ряд называется сходящимся, если существует конечный предел являющийся суммой ряда; расходящимся, если Числа — члены ряда, — й или общий член.

Коротко ряд записывают

Примеры: 1.— гармонический

ряд;

2. — геометрическая прогрессия, где q — знаменатель прогрессии.

Выясним сходимость геометрической прогрессии. Из курса элементарной математики известно, что т.е.

При q = 1 рад принимает вид

при q = -1 геометрическая прогрессия имеет вид

т.е. = 0 при п четном и = а при n нечетном. Таким образом, по определению, геометрическая прогрессия сходится при 1 и расходится при